Utilizando integral dupla, calcule a área do conjunto B dado.
B é o conjunto de todos os pontos (x, y) tais que ln(x) <= y <= 1 + ln(x), y >= 0 e x <= e.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a área do conjunto usando integrais duplas. O conjunto é definido por todas as coordenadas que satisfazem as condições:
Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar uma integral dupla sobre a região delimitada por essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração. Observamos que varia entre e , mas também deve ser maior ou igual a 0. Além disso, varia de algum valor mínimo até .
Precisamos encontrar os valores de para os quais , já que . Sabemos que quando . Então, varia de 1 até .

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla para calcular a área do conjunto . A área pode ser encontrada integrando a função constante 1 sobre a região .

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Isso significa que, para cada valor de , a largura em é 1.

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Essa integral é simplesmente a diferença entre os limites de :

Resposta

A área do conjunto é .

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Calcule o volume do conjunto S dado.
S = {(x, y, z) ∈ R³ | x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1} e 0 <= z <= x^2 + y^2.
Calcule o volume do conjunto S dado.
S = {(x, y, z) em R^3 : x^2 + y^2 <= z <= 1 - x^2}.