Utilizando integral dupla, calcule a área do conjunto
dado.
B é o conjunto de todos os pontos
tais que
e
.
B é o conjunto de todos os pontos
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a área do conjunto
usando integrais duplas. O conjunto
é definido por todas as coordenadas
que satisfazem as condições:
Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar uma integral dupla sobre a região delimitada por essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração. Observamos que
varia entre
e
, mas também deve ser maior ou igual a 0. Além disso,
varia de algum valor mínimo até
.
Precisamos encontrar os valores de
para os quais
, já que
. Sabemos que
quando
. Então,
varia de 1 até
.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral dupla para calcular a área
do conjunto
. A área pode ser encontrada integrando a função constante 1 sobre a região
.
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Isso significa que, para cada valor de
, a largura em
é 1.
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Essa integral é simplesmente a diferença entre os limites de
:
Resposta
A área do conjunto
é
.
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Calcule o volume do conjunto
dado.
e
.
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dado.
.