Calcule o volume do conjunto S dado.
S = {(x, y, z) em R^3: x^2 + y^2 <= 1} e x + y + 2 <= z <= 4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume do conjunto , definido por:
Vamos usar cálculo de volume em coordenadas cilíndricas, já que a condição descreve um cilindro de raio 1.

Passo 2

Primeiro, convertemos as coordenadas cartesianas para cilíndricas:
Aqui, varia de 0 a 1 e varia de 0 a .

Passo 3

A restrição é dada por:
Substituindo e por suas equivalentes em coordenadas cilíndricas:

Passo 4

Para calcular o volume, configuramos uma integral tripla nas coordenadas cilíndricas:
O extra vem do jacobiano das coordenadas cilíndricas.

Passo 5

Primeiro, integramos em relação a :
Assim, a integral fica:

Passo 6

Expandindo e integrando em relação a :
Integrando em :
Portanto:

Passo 7

Finalmente, integramos em relação a :
Sabemos que:
Então:

Resposta

O volume do conjunto é unidades cúbicas.

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