Calcule o volume do conjunto
dado.
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o volume do conjunto
, definido por:
Vamos usar cálculo de volume em coordenadas cilíndricas, já que a condição
descreve um cilindro de raio 1.
Passo 2
Primeiro, convertemos as coordenadas cartesianas para cilíndricas:
Aqui,
varia de 0 a 1 e
varia de 0 a
.
Passo 3
A restrição
é dada por:
Substituindo
e
por suas equivalentes em coordenadas cilíndricas:
Passo 4
Para calcular o volume, configuramos uma integral tripla nas coordenadas cilíndricas:
O
extra vem do jacobiano das coordenadas cilíndricas.
Passo 5
Primeiro, integramos em relação a
:
Assim, a integral fica:
Passo 6
Expandindo e integrando em relação a
:
Integrando em
:
Portanto:
Passo 7
Finalmente, integramos em relação a
:
Sabemos que:
Então:
Resposta
O volume do conjunto
é
unidades cúbicas.