Utilizando integral dupla, calcule a área do conjunto
dado.
é determinado pelas desigualdades
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área do conjunto
usando integral dupla. O conjunto
é definido pelas seguintes desigualdades:
Vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais duplas e entender como determinar os limites de integração com base nessas desigualdades.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as desigualdades que definem
. Temos:
-
: Isso nos diz que estamos trabalhando no lado direito do eixo . -
: Isso define uma faixa para que está entre a linha e . -
: Essa é uma hipérbole que limita nossa região.
Vamos desenhar essas curvas para visualizar o conjunto
.
Passo 3
Vamos determinar os pontos de interseção das curvas para definir os limites de integração. Igualando
com
:
Portanto, as curvas se intersectam em
.
Passo 4
Agora, vamos expressar os limites de integração. Como
varia de 0 a
, e para cada
,
varia de
a
. Precisamos verificar onde
:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos
.
Passo 5
Portanto, dividimos a integração em duas partes:
- De
a : varia de a . - De
a : varia de a .
Passo 6
Agora, configuramos a integral dupla para calcular a área
:
Passo 7
Vamos calcular a primeira integral:
Passo 8
Agora, a segunda integral:
Vamos integrar:
Avaliando de 1 a
:
Passo 9
Somando as duas partes, a área total
é:
Resposta
A área do conjunto
é
unidades de área.