Utilizando integral dupla, calcule a área do conjunto B dado.
B é determinado pelas desigualdades x y <= 2, x <= y <= x + 1 e x ≥ 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área do conjunto usando integral dupla. O conjunto é definido pelas seguintes desigualdades:
Vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais duplas e entender como determinar os limites de integração com base nessas desigualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as desigualdades que definem . Temos:
  1. : Isso nos diz que estamos trabalhando no lado direito do eixo .
  2. : Isso define uma faixa para que está entre a linha e .
  3. : Essa é uma hipérbole que limita nossa região.
Vamos desenhar essas curvas para visualizar o conjunto .

Passo 3

Vamos determinar os pontos de interseção das curvas para definir os limites de integração. Igualando com :
Portanto, as curvas se intersectam em .

Passo 4

Agora, vamos expressar os limites de integração. Como varia de 0 a , e para cada , varia de a . Precisamos verificar onde :
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos .

Passo 5

Portanto, dividimos a integração em duas partes:
  1. De a : varia de a .
  2. De a : varia de a .

Passo 6

Agora, configuramos a integral dupla para calcular a área :

Passo 7

Vamos calcular a primeira integral:

Passo 8

Agora, a segunda integral:
Vamos integrar:
Avaliando de 1 a :

Passo 9

Somando as duas partes, a área total é:

Resposta

A área do conjunto é unidades de área.

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