Seja . Sabendo que é função implícita de , calcule .
(a)
(b)
©
(d)
(e)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma equação que relaciona e :
Sabemos que é uma função implícita de , ou seja, . Nosso objetivo é encontrar a derivada de em relação a , representada por .

Passo 2

Para encontrar , vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que, como é uma função de , ao diferenciar termos que envolvem , devemos usar a regra da cadeia.
Vamos diferenciar cada termo da equação:
Calculando cada derivada:
  1. (usando a regra da cadeia)
  2. (usando a regra do produto)
Substituindo essas derivadas na equação:

Passo 3

Agora, vamos reunir os termos que contêm e os demais termos:
Isolando :

Passo 4

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A derivada é dada por:
Portanto, a resposta correta é a opção (b).

Exercícios relacionados

Calcule a derivada de:
c)
Qual o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos e ? Qual a equação da reta que passa por estes pontos?
Dada a equação , sendo será expressa por:
(a)
(b)
Calcule o volume do conjunto dado. Desenhe as superfícies no SciLab ou GeoGebra ou ainda algum outro software: .