Seja e^(2 x) + x^(6) - x y^(2) + 2 = 0. Sabendo que x é função implícita de y, calcule dx/dy.
(a) -2xy / (2e^(2x) + 6x^5 - y^2)
(b) 2xy / (2e^(2x) + 6x^5 - y^2)
© (2xy + 2) / (2e^(2x) + 6x^5 - y^2)
(d) 2 x / (2 e^(2 x) + 6 x^(5) - y^(2))
(e) (2e^(2x) + 6x^(5) - y^(2)) / (2xy)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma equação que relaciona e :
Sabemos que é uma função implícita de , ou seja, . Nosso objetivo é encontrar a derivada de em relação a , representada por .

Passo 2

Para encontrar , vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que, como é uma função de , ao diferenciar termos que envolvem , devemos usar a regra da cadeia.
Vamos diferenciar cada termo da equação:
Calculando cada derivada:
  1. (usando a regra da cadeia)
  2. (usando a regra do produto)
Substituindo essas derivadas na equação:

Passo 3

Agora, vamos reunir os termos que contêm e os demais termos:
Isolando :

Passo 4

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A derivada é dada por:
Portanto, a resposta correta é a opção (b).

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