Utilizando integral dupla, calcule a área do conjunto
dado.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área do conjunto
, que é definido por:
Vamos usar integrais duplas, que são ferramentas matemáticas para calcular áreas em planos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. Precisamos descobrir para quais valores de
o conjunto
está definido. Isso envolve encontrar onde as duas funções
e
se encontram.
Passo 3
Vamos igualar as duas funções para encontrar os pontos de interseção:
Para resolver isso, podemos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Agora, rearranjamos:
Fatorando:
Então,
ou
, o que dá
.
Passo 4
Então, as funções se intersectam em
e
. Isso significa que
varia de 0 a 1 no conjunto
.
Passo 5
Agora, para calcular a área, configuramos a integral dupla assim:
Aqui, a integral interna
calcula a “altura” entre as duas curvas para cada
.
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Então, a integral da área fica:
Passo 7
Agora, calculamos a integral:
Então, a área é:
Resposta
A área do conjunto
é
unidades de área.
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dado.
e
.
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e
.