Utilizando integral dupla, calcule a área do conjunto B dado.
B = {(x, y) em R^2: x^3 <= y <= raiz(x)}.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área do conjunto , que é definido por:
Vamos usar integrais duplas, que são ferramentas matemáticas para calcular áreas em planos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. Precisamos descobrir para quais valores de o conjunto está definido. Isso envolve encontrar onde as duas funções e se encontram.

Passo 3

Vamos igualar as duas funções para encontrar os pontos de interseção:
Para resolver isso, podemos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Agora, rearranjamos:
Fatorando:
Então, ou , o que dá .

Passo 4

Então, as funções se intersectam em e . Isso significa que varia de 0 a 1 no conjunto .

Passo 5

Agora, para calcular a área, configuramos a integral dupla assim:
Á
Aqui, a integral interna calcula a “altura” entre as duas curvas para cada .

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro:
Então, a integral da área fica:
Á

Passo 7

Agora, calculamos a integral:
Então, a área é:
Á

Resposta

A área do conjunto é unidades de área.

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