Calcule o volume do conjunto
dado.
e
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular o volume de um conjunto
no espaço tridimensional
. O conjunto
é definido por:
Para resolver isso, vamos usar cálculo integral múltiplo, que nos permite calcular volumes em espaços com mais de duas dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração para cada variável:
-
varia de até . -
varia de até . -
varia de até .
Isso define o “bloco” que estamos medindo.
Passo 3
O volume
do conjunto
pode ser calculado usando uma integral tripla:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 4
Começamos integrando em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, integramos em relação a
. Como
não depende de
, a integral é:
Assim, a integral simplifica para:
Passo 6
Para resolver a integral
, usamos uma substituição simples:
- Seja
. - Então,
ou .
Substituindo na integral:
Passo 7
Integrando
em relação a
:
Resposta
O volume do conjunto
é
.