Calcule o volume do conjunto S dado.
S = {(x, y, z) ∈ R³ | x ≥ 0, x ≤ y ≤ 1} e 0 <= z <= e^(y^2).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular o volume de um conjunto no espaço tridimensional . O conjunto é definido por:
Para resolver isso, vamos usar cálculo integral múltiplo, que nos permite calcular volumes em espaços com mais de duas dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração para cada variável:
  • varia de até .
  • varia de até .
  • varia de até .
Isso define o “bloco” que estamos medindo.

Passo 3

O volume do conjunto pode ser calculado usando uma integral tripla:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 4

Começamos integrando em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, integramos em relação a . Como não depende de , a integral é:
Assim, a integral simplifica para:

Passo 6

Para resolver a integral , usamos uma substituição simples:
  • Seja .
  • Então, ou .
Substituindo na integral:

Passo 7

Integrando em relação a :

Resposta

O volume do conjunto é .

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