Dê uma sequência (an)n in N que satisfaça o enunciado. Não precisa provar, somente dar o exemplo. (an)n in N converge a zero mas sumn=1^infty an diverge.

Passo 1

O exercício pede para fornecer um exemplo de uma sequência que converge a zero, mas cuja soma infinita não converge (ou seja, diverge). Vamos utilizar os conceitos de sequências e séries infinitas para resolver isso.

Passo 2

Vamos escolher a sequência .

Passo 3

Primeiro, vamos verificar que a sequência limn to infty 1n = 0 converge a zero. Isso significa que, conforme aumenta, os termos da sequência ficam cada vez menores, aproximando-se de zero:

Passo 4

Agora, vamos analisar a soma infinita dos termos dessa sequência, ou seja, a série sumn=1^infty 1n = 1 + 12 + 13 + 14 + dots = infty . Essa série é conhecida como série harmônica e é um exemplo clássico de uma série que diverge, ou seja, a soma dos seus termos cresce sem limite à medida que adicionamos mais termos:

Resposta

Um exemplo de sequência que satisfaz as condições é .

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