Utilizando integral dupla, calcule a área do conjunto B dado.
B é limitado pelas curvas y = x^2 - x e x = y^2 - y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área do conjunto usando integral dupla. As curvas que limitam são e . Para resolver isso, vamos precisar entender como essas curvas se intersectam e como configurar a integral dupla para encontrar a área entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Isso significa resolver o sistema:
Substituindo da primeira equação na segunda:
Expandindo e simplificando essa equação, encontraremos os valores de nos pontos de interseção.

Passo 3

Resolvendo :
Fatorando:
Então, ou . Agora, substituímos esses valores de volta em para encontrar os correspondentes valores de :
  • Para :
  • Para :
Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 4

Agora que sabemos onde as curvas se cruzam, vamos entender qual curva está acima da outra no intervalo de a . Vamos escolher um valor de entre 0 e 2, por exemplo, :
ã
Vamos tentar em função de . Observando as equações, parece que está abaixo de quando está entre 0 e 2. Portanto, para configurar a integral, varia de até a curva superior, que determinaremos a seguir.

Passo 5

Para determinar a curva superior, resolvemos para . A equação é quadrática em :
Usando a fórmula quadrática:
Como estamos interessados na parte real e positiva, consideramos:
Portanto, a curva superior é .

Passo 6

Agora, podemos configurar a integral dupla para a área de :
Aqui, integramos primeiro em de até , e depois em de 0 a 2.

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em :
Agora, a integral para a área fica:

Passo 8

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Podemos separar a integral em partes:

Passo 9

Calculando cada integral separadamente:
  1. :
    • Fazemos a substituição , então ou .
    • Limites: quando , ; quando , .
    • A integral torna-se .

Passo 10

Agora, somamos todos os resultados:
Convertendo para frações com denominador 6:

Resposta

A área do conjunto é unidades de área.

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