Utilizando integral dupla, calcule a área do conjunto dado. é limitado pelas curvas e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área do conjunto usando integral dupla. As curvas que limitam são e . Para resolver isso, vamos precisar entender como essas curvas se intersectam e como configurar a integral dupla para encontrar a área entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Isso significa resolver o sistema:
Substituindo da primeira equação na segunda:
Expandindo e simplificando essa equação, encontraremos os valores de nos pontos de interseção.
Passo 3
Resolvendo :
Fatorando:
Então, ou . Agora, substituímos esses valores de volta em para encontrar os correspondentes valores de :
Para :
Para :
Portanto, os pontos de interseção são e .
Passo 4
Agora que sabemos onde as curvas se cruzam, vamos entender qual curva está acima da outra no intervalo de a . Vamos escolher um valor de entre 0 e 2, por exemplo, :
Vamos tentar em função de . Observando as equações, parece que está abaixo de quando está entre 0 e 2. Portanto, para configurar a integral, varia de até a curva superior, que determinaremos a seguir.
Passo 5
Para determinar a curva superior, resolvemos para . A equação é quadrática em :
Usando a fórmula quadrática:
Como estamos interessados na parte real e positiva, consideramos:
Portanto, a curva superior é .
Passo 6
Agora, podemos configurar a integral dupla para a área de :
Aqui, integramos primeiro em de até , e depois em de 0 a 2.