Calcule o volume do conjunto
de todos
tais que
e
.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício onde precisa calcular o volume de um conjunto chamado
. Esse conjunto é formado por todos os pontos
que satisfazem duas condições:
-
— isso representa uma parábola que se abre para cima. -
— isso representa uma esfera com raio .
Vamos precisar usar cálculo em coordenadas cilíndricas para facilitar a resolução desse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar as equações para coordenadas cilíndricas, onde
,
e
. Nessas coordenadas, as equações ficam:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a região onde essas duas superfícies se intersectam. Para isso, igualamos as duas expressões para
:
Substituindo na equação da esfera:
Resolvendo essa equação para
:
Fazendo a substituição
:
Resolvendo a equação quadrática:
Então,
ou
. Como
não pode ser negativo, temos
.
Portanto, a interseção ocorre quando
e
.
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral para calcular o volume. Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é
.
Os limites de integração são:
-
varia de a (uma volta completa). -
varia de a (até o ponto de interseção). - Para cada
, varia de (parábola) até (esfera rearranjada da equação da esfera).
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo.
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, substituímos na integral dupla:
Vamos separar a integral em duas partes:
Calculando cada integral:
-
Fazemos a substituição, então ou .
Mudando os limites:- Quando
, . - Quando
, .
A integral se torna: - Quando
-
Substituindo de volta:
Resposta
O volume do conjunto
é
unidades cúbicas.
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c)
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;
(a) Encontre a velocidade no instante .
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