Calcule o volume do conjunto de todos tais que e .

Passo 1

Então, a gente tem um exercício onde precisa calcular o volume de um conjunto chamado . Esse conjunto é formado por todos os pontos que satisfazem duas condições:
  1. — isso representa uma parábola que se abre para cima.
  2. — isso representa uma esfera com raio .
Vamos precisar usar cálculo em coordenadas cilíndricas para facilitar a resolução desse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar as equações para coordenadas cilíndricas, onde , e . Nessas coordenadas, as equações ficam:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a região onde essas duas superfícies se intersectam. Para isso, igualamos as duas expressões para :
Substituindo na equação da esfera:
Resolvendo essa equação para :
Fazendo a substituição :
Resolvendo a equação quadrática:
Então, ou . Como não pode ser negativo, temos .
Portanto, a interseção ocorre quando e .

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral para calcular o volume. Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é .
Os limites de integração são:
  • varia de a (uma volta completa).
  • varia de a (até o ponto de interseção).
  • Para cada , varia de (parábola) até (esfera rearranjada da equação da esfera).
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo.
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, substituímos na integral dupla:
Vamos separar a integral em duas partes:
Calculando cada integral:

  1. Fazemos a substituição , então ou .
    Mudando os limites:
    • Quando , .
    • Quando , .
    A integral se torna:
Substituindo de volta:

Resposta

O volume do conjunto é unidades cúbicas.

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