Calcule: O volume dentro do cilindro
limit ado pelos planos
e
dados que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume dentro do cilindro
limitado pelos planos
e
, onde
. Isso envolve conceitos de cálculo de volume usando integrais múltiplas, especialmente coordenadas cilíndricas. Vamos precisar entender como configurar os limites de integração e aplicar a fórmula correta para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o problema. O cilindro
é um cilindro circular de raio
centrado no eixo
. Os planos que limitam o volume são
(o plano
) e
, que podemos reescrever como
.
Passo 3
Para calcular o volume, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde:
Nesse sistema, o cilindro fica simplesmente
, o que facilita a integração.
Passo 4
Os limites de integração para
vão de
a
, já que o raio do cilindro é
. Para
, vamos de
a
para cobrir todo o círculo. E para
, vai de
até
. Como
, temos:
Passo 5
A fórmula para o volume em coordenadas cilíndricas é:
Aqui,
é o fator de escala de área em coordenadas cilíndricas.
Passo 6
Primeiro, integramos em relação a
:
Então, o volume fica:
Passo 7
Expandindo a expressão dentro da integral:
Agora, vamos integrar em relação a
:
Portanto:
Passo 8
Agora, integramos em relação a
:
A segunda integral é zero porque a integral do seno sobre um período completo é nula.
Resposta
O volume é
.
Exercícios relacionados
A figura abaixo mostra três caminhos de
à
. Calcule a integral de linha de
Figura 1: Os caminhos de
à
.
Sobre o caminho retilíneo.
Sobre o caminho retilíneo.
Int egre
ao longo da curva indicada.
.
A figura abaixo mostra três caminhos de
à
. Calcule a integral de linha de
Figura 1: Os caminhos de
à $(-1,0).
Sobre o caminho retangular
Sobre o caminho retangular
Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais, sobre as curvas indicadas.
onde
é a elipse
.