Calcule: O volume dentro do cilindro limit ado pelos planos e dados que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume dentro do cilindro limitado pelos planos e , onde . Isso envolve conceitos de cálculo de volume usando integrais múltiplas, especialmente coordenadas cilíndricas. Vamos precisar entender como configurar os limites de integração e aplicar a fórmula correta para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o problema. O cilindro é um cilindro circular de raio centrado no eixo . Os planos que limitam o volume são (o plano ) e , que podemos reescrever como .

Passo 3

Para calcular o volume, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde:
Nesse sistema, o cilindro fica simplesmente , o que facilita a integração.

Passo 4

Os limites de integração para vão de a , já que o raio do cilindro é . Para , vamos de a para cobrir todo o círculo. E para , vai de até . Como , temos:

Passo 5

A fórmula para o volume em coordenadas cilíndricas é:
Aqui, é o fator de escala de área em coordenadas cilíndricas.

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a :
Então, o volume fica:

Passo 7

Expandindo a expressão dentro da integral:
Agora, vamos integrar em relação a :
Portanto:

Passo 8

Agora, integramos em relação a :
A segunda integral é zero porque a integral do seno sobre um período completo é nula.

Resposta

O volume é .

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.
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