Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais, sobre as curvas indicadas.
onde é a elipse .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha usando o Teorema de Green. A integral dada é:
onde é a elipse definida por:
Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva.

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções e na integral de linha:
De acordo com o Teorema de Green:
onde é a região interior à curva .

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais necessárias:
Subtraindo essas derivadas:

Passo 4

Agora, a integral dupla fica:
Para facilitar o cálculo, fazemos uma mudança de coordenadas que transforma a elipse em um círculo. Definimos:
Então, e . A equação da elipse torna-se:
O jacobiano dessa transformação é:

Passo 5

Substituindo na integral dupla:

Passo 6

Observamos que a região de integração é simétrica em relação a e . As integrais de e sobre um círculo centrado na origem são iguais a zero devido à simetria. Portanto:

Passo 7

Assim, a integral original fica:

Resposta

Exercícios relacionados

A figura abaixo mostra três caminhos de à . Calcule a integral de linha de
Figura 1: Os caminhos de à $(-1,0).
Sobre o caminho retangular
Calcule: O volume dentro do cilindro limit ado pelos planos e dados que
Int egre ao longo da curva indicada.
.
Sendo (Normal com média 90 e variância 100), calcule:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f) O valor de tal que .
(R:(a)0,9938 (b) 0,8413 © 0,0668 (d)0,06687 (e) 0,6826 (f) 1,96 )