Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais, sobre as curvas indicadas.
integral duplaC(x y+x+y) d x+(x y+x-y) d y onde C é a elipse x^2a^2+y^2b^2=1.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha usando o Teorema de Green. A integral dada é:
ointC (xy + x + y) , dx + (xy + x - y) , dy
onde x^2a^2 + y^2b^2 = 1 é a elipse definida por:
Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva.

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções P(x, y) = xy + x + y e Q(x, y) = xy + x - y na integral de linha:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
De acordo com o Teorema de Green:
onde é a região interior à curva .

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x (xy + x - y) = y + 1
partial Ppartial y = partialpartial y (xy + x + y) = x + 1
Subtraindo essas derivadas:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = (y + 1) - (x + 1) = y - x

Passo 4

Agora, a integral dupla fica:
integral duplaD (y - x) , dA
Para facilitar o cálculo, fazemos uma mudança de coordenadas que transforma a elipse em um círculo. Definimos:
u = xa, v = yb
Então, u^2 + v^2 = 1 e J = | partial (x, y)partial (u, v) | = ab . A equação da elipse torna-se:
O jacobiano dessa transformação é:

Passo 5

Substituindo na integral dupla:
integral duplaD (y - x) , dA = integral duplau^2 + v^2 <= 1 (b v - a u) cdot ab , du , dv = ab integral duplau^2 + v^2 <= 1 (b v - a u) , du , dv

Passo 6

Observamos que a região de integração é simétrica em relação a integral duplau^2 + v^2 <= 1 u , du , dv = 0 e integral duplau^2 + v^2 <= 1 v , du , dv = 0 . As integrais de e sobre um círculo centrado na origem são iguais a zero devido à simetria. Portanto:

Passo 7

Assim, a integral original fica:
ab (b cdot 0 - a cdot 0) = 0

Resposta

0

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