Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais, sobre as curvas indicadas. onde é a elipse .
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha usando o Teorema de Green. A integral dada é:
onde é a elipse definida por:
Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva.
Passo 2
Primeiro, identificamos as funções e na integral de linha:
De acordo com o Teorema de Green:
onde é a região interior à curva .
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais necessárias:
Subtraindo essas derivadas:
Passo 4
Agora, a integral dupla fica:
Para facilitar o cálculo, fazemos uma mudança de coordenadas que transforma a elipse em um círculo. Definimos:
Então, e . A equação da elipse torna-se:
O jacobiano dessa transformação é:
Passo 5
Substituindo na integral dupla:
Passo 6
Observamos que a região de integração é simétrica em relação a e . As integrais de e sobre um círculo centrado na origem são iguais a zero devido à simetria. Portanto: