A figura abaixo mostra três caminhos de
à
. Calcule a integral de linha de
Figura 1: Os caminhos de
à $(-1,0).
Sobre o caminho retangular
Sobre o caminho retangular
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha do campo vetorial
ao longo de um caminho retangular que vai de
até
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Ela basicamente calcula o trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de um caminho específico. No nosso caso, o campo é
e o caminho é o retângulo de
a
.
Passo 3
Como o caminho é retangular, podemos dividi-lo em quatro segmentos. Mas, para simplificar, vamos verificar se o campo é conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial tal que
. Se for conservativo, a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final.
Passo 4
Para verificar se
é conservativo, calculamos as derivadas parciais:
Como
, o campo é conservativo.
Passo 5
Agora, encontramos a função potencial
tal que
. Integramos
em relação a
:
Derivando
em relação a
e igualando a
:
Então,
.
Passo 6
Usando a propriedade de campos conservativos, a integral de linha entre dois pontos é:
Calculando:
Resposta
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Calcule: O volume dentro do cilindro
limit ado pelos planos
e
dados que
A figura abaixo mostra três caminhos de
à
. Calcule a integral de linha de
Figura 1: Os caminhos de
à
.
Sobre o caminho retilíneo.
Sobre o caminho retilíneo.
Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais, sobre as curvas indicadas.
onde
é a elipse
.
Int egre
ao longo da curva indicada.
.