A figura abaixo mostra três caminhos de à . Calcule a integral de linha de
Figura 1: Os caminhos de à $(-1,0).
Sobre o caminho retangular

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo de um caminho retangular que vai de até . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Ela basicamente calcula o trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de um caminho específico. No nosso caso, o campo é e o caminho é o retângulo de a .

Passo 3

Como o caminho é retangular, podemos dividi-lo em quatro segmentos. Mas, para simplificar, vamos verificar se o campo é conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial tal que . Se for conservativo, a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final.

Passo 4

Para verificar se é conservativo, calculamos as derivadas parciais:
Como , o campo é conservativo.

Passo 5

Agora, encontramos a função potencial tal que . Integramos em relação a :
Derivando em relação a e igualando a :
Então, .

Passo 6

Usando a propriedade de campos conservativos, a integral de linha entre dois pontos é:
Calculando:

Resposta

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.