Calcule o volume do elipsóide mediante a transformação e . Utilize o volume da esfera calculado no item anterior.
Passo 1
Oi! Vamos resolver juntos o problema de calcular o volume do elipsóide dado pela equação . A matéria que estamos usando aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre volumes de sólidos. Para resolver isso, vamos usar uma transformação linear e o conceito de determinante para encontrar o volume, além de utilizar o volume de uma esfera que já calculamos anteriormente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma da equação do elipsóide: . Esse tipo de equação representa um elipsóide centrado na origem, com eixos alinhados aos eixos coordenados. Os denominadores 4, 9 e 9 indicam as “escalas” em cada direção.
Passo 3
A transformação que vamos usar é: , , e . Isso significa que estamos mapeando as coordenadas para de forma que esticamos o espaço nas direções x, y e z.
Passo 4
Substituindo as transformações na equação do elipsóide, temos:
Simplificando:
Isso nos mostra que, após a transformação, temos a equação de uma esfera unitária.
Passo 5
Sabemos que o volume de uma esfera de raio 1 é . Como a transformação que fizemos envolve escalar os eixos, precisamos encontrar como isso afeta o volume.
Passo 6
O volume após uma transformação linear é dado pelo volume original multiplicado pelo valor absoluto do determinante da matriz de transformação. Nossa matriz de transformação é diagonal:
O determinante dessa matriz é .
Passo 7
Portanto, o volume do elipsóide é o volume da esfera multiplicado pelo determinante: