Calcule o volume do elipsóide x^2/4 + y^2/9 + z^2/9 <= 1 mediante a transformação x = 2u, y = 3v e z = 3 w. Utilize o volume da esfera calculado no item anterior.

Passo 1

Oi! Vamos resolver juntos o problema de calcular o volume do elipsóide dado pela equação x^2/4 + y^2/9 + z^2/9 <= 1. A matéria que estamos usando aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre volumes de sólidos. Para resolver isso, vamos usar uma transformação linear e o conceito de determinante para encontrar o volume, além de utilizar o volume de uma esfera que já calculamos anteriormente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma da equação do elipsóide: x^2/4 + y^2/9 + z^2/9 <= 1. Esse tipo de equação representa um elipsóide centrado na origem, com eixos alinhados aos eixos coordenados. Os denominadores 4, 9 e 9 indicam as “escalas” em cada direção.

Passo 3

A transformação que vamos usar é: , , e . Isso significa que estamos mapeando as coordenadas para (x, y, z) de forma que esticamos o espaço nas direções x, y e z.

Passo 4

Substituindo as transformações na equação do elipsóide, temos:
Simplificando:
Isso nos mostra que, após a transformação, temos a equação de uma esfera unitária.

Passo 5

Sabemos que o volume de uma esfera de raio 1 é . Como a transformação que fizemos envolve escalar os eixos, precisamos encontrar como isso afeta o volume.

Passo 6

O volume após uma transformação linear é dado pelo volume original multiplicado pelo valor absoluto do determinante da matriz de transformação. Nossa matriz de transformação é diagonal:
O determinante dessa matriz é .

Passo 7

Portanto, o volume do elipsóide é o volume da esfera multiplicado pelo determinante:
ó

Resposta

O volume do elipsóide é unidades cúbicas.

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