Sabendo-se que vale a seguinte propriedade da transformada de Laplace L{t^n} = n!/s^(n+1), s>0 e n inteiro positivo.
Então determine, a partir desta propriedade, L{y}, se:
b) y = t^3 + 2 t^2 - 4.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função e queremos encontrar sua transformada de Laplace, ou seja, . Para isso, vamos usar a propriedade da transformada de Laplace que diz:
Aqui, é um número inteiro positivo. Também precisamos lembrar que a transformada de Laplace de uma constante é .

Passo 2

Vamos aplicar a linearidade da transformada de Laplace à função . A linearidade nos permite separar a transformada de soma de funções em soma das transformadas das funções individuais. Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos calcular cada uma dessas transformadas separadamente usando a propriedade dada e a transformada da constante.
  1. Para :
    Aqui, . Aplicando a fórmula:
  2. Para :
    Aqui, . Aplicando a fórmula:
    Como há um coeficiente 2 na frente, fica:
  3. Para :
    Sabemos que:
    Então, multiplicando pelo coeficiente -4:

Resposta

Combinando todas as partes, a transformada de Laplace de é:

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