Find d y / d x by implicit differentiation.
xy = raiz(x^2 + y^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação para trabalhar:
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , usando diferenciação implícita. Para isso, vamos precisar lembrar como derivar funções que têm mais de uma variável misturada, e como manejar raízes quadradas e produtos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a equação para facilitar a diferenciação. Vamos elevar ambos os lados ao quadrado para se livrar da raiz:
Isso nos dá:

Passo 3

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então quando derivamos termos com , precisamos aplicar a regra da cadeia.
Derivando o lado esquerdo :
  • Use a regra do produto: derivada de é , e derivada de é .
  • Assim, a derivada do lado esquerdo é:
Derivando o lado direito :
  • Derivada de é .
  • Derivada de é .
  • Assim, a derivada do lado direito é:
Agora, juntando tudo:

Passo 4

Vamos isolar na equação. Primeiro, vamos mover os termos que não têm para o outro lado:
Agora, fatoramos do lado esquerdo:
Finalmente, isolamos :
Podemos simplificar os 2’s:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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