Find
by implicit differentiation.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação para trabalhar:
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
, usando diferenciação implícita. Para isso, vamos precisar lembrar como derivar funções que têm mais de uma variável misturada, e como manejar raízes quadradas e produtos de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco a equação para facilitar a diferenciação. Vamos elevar ambos os lados ao quadrado para se livrar da raiz:
Isso nos dá:
Passo 3
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então quando derivamos termos com
, precisamos aplicar a regra da cadeia.
Derivando o lado esquerdo
:
- Use a regra do produto: derivada de
é , e derivada de é . - Assim, a derivada do lado esquerdo é:
Derivando o lado direito
:
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Assim, a derivada do lado direito é:
Agora, juntando tudo:
Passo 4
Vamos isolar
na equação. Primeiro, vamos mover os termos que não têm
para o outro lado:
Agora, fatoramos
do lado esquerdo:
Finalmente, isolamos
:
Podemos simplificar os 2’s:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Calcule o volume do elipsóide
mediante a transformação
e
. Utilize o volume da esfera calculado no item anterior.
Encontre a solução em séries de potências da equação diferencial não homogênea em torno do ponto
:
a)
a)
Sabendo-se que vale a seguinte propriedade da transformada de Laplace
e
inteiro positivo.
Então determine, a partir desta propriedade, , se:
b) .
Então determine, a partir desta propriedade,
b)
Determine a carga elétrica de uma bola de forma esférica de raio
, com uma densidade volumétrica de carga de
, onde
é a distância ao centro da esfera.