Find by implicit differentiation.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação para trabalhar:
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , usando diferenciação implícita. Para isso, vamos precisar lembrar como derivar funções que têm mais de uma variável misturada, e como manejar raízes quadradas e produtos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a equação para facilitar a diferenciação. Vamos elevar ambos os lados ao quadrado para se livrar da raiz:
Isso nos dá:

Passo 3

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então quando derivamos termos com , precisamos aplicar a regra da cadeia.
Derivando o lado esquerdo :
  • Use a regra do produto: derivada de é , e derivada de é .
  • Assim, a derivada do lado esquerdo é:
Derivando o lado direito :
  • Derivada de é .
  • Derivada de é .
  • Assim, a derivada do lado direito é:
Agora, juntando tudo:

Passo 4

Vamos isolar na equação. Primeiro, vamos mover os termos que não têm para o outro lado:
Agora, fatoramos do lado esquerdo:
Finalmente, isolamos :
Podemos simplificar os 2’s:

Resposta

A derivada de em relação a é:

Exercícios relacionados

Calcule o volume do elipsóide mediante a transformação e . Utilize o volume da esfera calculado no item anterior.
Encontre a solução em séries de potências da equação diferencial não homogênea em torno do ponto :
a)
Sabendo-se que vale a seguinte propriedade da transformada de Laplace e inteiro positivo.
Então determine, a partir desta propriedade, , se:
b) .
Determine a carga elétrica de uma bola de forma esférica de raio , com uma densidade volumétrica de carga de , onde é a distância ao centro da esfera.