Calcule o volume das funções abaixo delimitados pelas regiões apresentadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular o volume delimitado pelas funções apresentadas, usando uma integral dupla. A integral que temos é:
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais duplas, que servem pra calcular volumes sob superfícies em um espaço bidimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a integral interna, que é em relação a
. Isso significa que vamos tratar
como uma constante enquanto integramos em
. A integral interna é:
Podemos separar essa integral em duas partes:
Como
é constante em relação a
, a primeira parte fica:
Para a segunda parte, a integral de
é
, então:
Então, somando as duas partes, temos:
Passo 3
Agora, vamos integrar o resultado em relação a
, de
a
:
Vamos separar essa integral também:
Calculando a primeira parte:
Notice que, por ser uma função ímpar (
ao primeiro grau) integrada de
a
, o resultado é zero.
Agora, calculando a segunda parte:
Resposta
Somando os resultados das duas partes, temos:
Portanto, o volume calculado é 18 unidades cúbicas.
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Estudar, no que se refere a máximos e mínimos, as seguintes funções: