Calcule o volume das funções abaixo delimitados pelas regiões apresentadas.
integral-3^3 integral0^pi2(y+y^2 cos x) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular o volume delimitado pelas funções apresentadas, usando uma integral dupla. A integral que temos é:
integral-3^3 integral0^pi2 (y + y^2 cos x) dx, dy
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais duplas, que servem pra calcular volumes sob superfícies em um espaço bidimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral interna, que é em relação a integral0^pi2 (y + y^2 cos x) dx . Isso significa que vamos tratar y integral0^pi2 dx = y [ x ]0^pi2 = y ( pi2 - 0 ) = pi2 y como uma constante enquanto integramos em y^2 integral0^pi2 cos x , dx = y^2 [ sin x ]0^pi2 = y^2 ( sin pi2 - sin 0 ) = y^2 (1 - 0) = y^2 . A integral interna é:
pi2 y + y^2
Podemos separar essa integral em duas partes:
Como é constante em relação a , a primeira parte fica:
Para a segunda parte, a integral de é , então:
Então, somando as duas partes, temos:

Passo 3

Agora, vamos integrar o resultado em relação a integral-3^3 ( pi2 y + y^2 ) dy , de pi2 [ y^22 ]-3^3 = pi4 ( 3^2 - (-3)^2 ) = pi4 (9 - 9) = 0 a [ y^33 ]-3^3 = 3^33 - (-3)^33 = 273 - -273 = 9 + 9 = 18 :
Vamos separar essa integral também:
Calculando a primeira parte:
Notice que, por ser uma função ímpar ( ao primeiro grau) integrada de a , o resultado é zero.
Agora, calculando a segunda parte:

Resposta

Somando os resultados das duas partes, temos:
0 + 18 = 18
Portanto, o volume calculado é 18 unidades cúbicas.

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