Estudar, no que se refere a máximos e mínimos, as seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente estudar os máximos e mínimos da função com . Isso envolve entender onde a função atinge seus valores mais altos ou mais baixos dentro do intervalo dado. Para isso, vamos usar cálculo derivativo, que nos ajuda a encontrar essas condições de máximo e mínimo.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos mostra a taxa de variação da função em cada ponto, ou seja, quão rápido a função está aumentando ou diminuindo.
A função pode ser escrita como . Usando a regra de derivação para potências, onde , temos:

Passo 3

Agora que temos a derivada, vamos analisar onde ela é positiva, negativa ou zero para encontrar possíveis pontos de máximo ou mínimo.
Observando :
  • Para , o denominador é positivo, então é sempre positivo.
  • Quando , a derivada tende ao infinito positivo, mas não é definida exatamente em .

Passo 4

Como a derivada é sempre positiva para , isso significa que a função está sempre crescendo no intervalo considerado. Não há pontos onde a função atinge um máximo local ou um mínimo local dentro de .

Passo 5

No entanto, devemos verificar os extremos do intervalo dado, que é :
  • Em , temos . Este é o mínimo absoluto da função, já que todos os outros valores de são maiores que zero.
  • Como a função continua crescendo sem limites à medida que aumenta, não há um máximo absoluto no intervalo .

Resposta

A função com não possui máximos locais ou absolutos, mas tem um mínimo absoluto em , onde .

Exercícios relacionados

O polinômio possui (pelo menos) uma raiz real.
Calcule o volume das funções abaixo delimitados pelas regiões apresentadas.
O polinômio é divisível por quando é igual a 4.
Calcular as três primeiras derivadas de cada uma das funções: