Estudar, no que se refere a máximos e mínimos, as seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente estudar os máximos e mínimos da função
com
. Isso envolve entender onde a função atinge seus valores mais altos ou mais baixos dentro do intervalo dado. Para isso, vamos usar cálculo derivativo, que nos ajuda a encontrar essas condições de máximo e mínimo.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos mostra a taxa de variação da função em cada ponto, ou seja, quão rápido a função está aumentando ou diminuindo.
A função
pode ser escrita como
. Usando a regra de derivação para potências, onde
, temos:
Passo 3
Agora que temos a derivada, vamos analisar onde ela é positiva, negativa ou zero para encontrar possíveis pontos de máximo ou mínimo.
Observando
:
- Para
, o denominador é positivo, então é sempre positivo. - Quando
, a derivada tende ao infinito positivo, mas não é definida exatamente em .
Passo 4
Como a derivada
é sempre positiva para
, isso significa que a função
está sempre crescendo no intervalo considerado. Não há pontos onde a função atinge um máximo local ou um mínimo local dentro de
.
Passo 5
No entanto, devemos verificar os extremos do intervalo dado, que é
:
-
Em
, temos . Este é o mínimo absoluto da função, já que todos os outros valores de são maiores que zero. -
Como a função continua crescendo sem limites à medida que
aumenta, não há um máximo absoluto no intervalo .
Resposta
A função
com
não possui máximos locais ou absolutos, mas tem um mínimo absoluto em
, onde
.
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