O polinômio
possui (pelo menos) uma raiz real.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão diz que o polinômio
tem pelo menos uma raiz real. Isso significa que existe algum número real que, quando substituído por
, faz com que o polinômio seja igual a zero. Para resolver isso, vamos utilizar o Teorema do Valor Intermediário, que é uma ferramenta bem legal da matemática que nos ajuda a encontrar raízes de funções contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teorema do Valor Intermediário. Basicamente, ele diz que se você tem uma função contínua (sem quebras ou saltos) em um intervalo e ela assume valores de sinais opostos nas extremidades desse intervalo, então existe pelo menos um ponto no meio onde a função cruza o eixo x, ou seja, tem uma raiz.
Passo 3
Nosso polinômio
é uma função contínua porque é um polinômio. Vamos escolher dois valores de
para avaliar
e ver se os sinais das saídas são diferentes.
Passo 4
Vamos começar com
:
Então,
.
Passo 5
Agora, vamos tentar
:
Então,
.
Passo 6
Observamos que em
,
(negativo) e em
,
(positivo). Ou seja, houve uma mudança de sinal entre
e
.
Passo 7
Aplicando o Teorema do Valor Intermediário, já que
é contínuo e houve mudança de sinal entre
e
, concluímos que existe pelo menos um valor de
entre 0 e 1 onde
.
Resposta
Portanto, o polinômio
possui pelo menos uma raiz real no intervalo entre 0 e 1.
Exercícios relacionados
Calcule o volume das funções abaixo delimitados pelas regiões apresentadas.
Se o polinômio
admite três raízes reais distintas, então uma das possibilidades é que elas sejam 1, -1 e 3.
Estudar, no que se refere a máximos e mínimos, as seguintes funções:
O polinômio
é divisível por
quando
é igual a 4.