O polinômio possui (pelo menos) uma raiz real.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão diz que o polinômio tem pelo menos uma raiz real. Isso significa que existe algum número real que, quando substituído por , faz com que o polinômio seja igual a zero. Para resolver isso, vamos utilizar o Teorema do Valor Intermediário, que é uma ferramenta bem legal da matemática que nos ajuda a encontrar raízes de funções contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teorema do Valor Intermediário. Basicamente, ele diz que se você tem uma função contínua (sem quebras ou saltos) em um intervalo e ela assume valores de sinais opostos nas extremidades desse intervalo, então existe pelo menos um ponto no meio onde a função cruza o eixo x, ou seja, tem uma raiz.

Passo 3

Nosso polinômio é uma função contínua porque é um polinômio. Vamos escolher dois valores de para avaliar e ver se os sinais das saídas são diferentes.

Passo 4

Vamos começar com :
Então, .

Passo 5

Agora, vamos tentar :
Então, .

Passo 6

Observamos que em , (negativo) e em , (positivo). Ou seja, houve uma mudança de sinal entre e .

Passo 7

Aplicando o Teorema do Valor Intermediário, já que é contínuo e houve mudança de sinal entre e , concluímos que existe pelo menos um valor de entre 0 e 1 onde .

Resposta

Portanto, o polinômio possui pelo menos uma raiz real no intervalo entre 0 e 1.

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