A densidade linear de uma barra de 2 metros de comprimento é rho(x) = 2 + x, medida em quilogramas por metro, em que x é medido em metros a partir de uma extremidade da barra.
a) Encontre a massa total da barra.
(1 ponto)

Passo 1

Então, temos uma barra de 2 metros de comprimento com uma densidade linear dada por , onde x é a distância em metros a partir de uma das extremidades. Nosso objetivo aqui é encontrar a massa total dessa barra. Para isso, vamos usar um pouquinho de cálculo, especificamente a integração, que nos ajuda a somar pequenas partes para obter o total.

Passo 2

A massa total de um objeto com densidade variável pode ser encontrada integrando a função de densidade ao longo do comprimento do objeto. No nosso caso, como a densidade depende de x, precisamos integrar rho(x) de x = 0 até x = 2 metros.

Passo 3

Vamos escrever a integral que representa a massa total M:

Passo 4

Agora, vamos calcular essa integral passo a passo:
  1. Integramos em relação a x:
  2. Integramos x em relação a x:
  3. Somamos essas integrais e avaliamos de 0 a :

Resposta

A massa total da barra é de 6 kg.

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