A densidade linear de uma barra de 2 metros de comprimento é , medida em quilogramas por metro, em que é medido em metros a partir de uma extremidade da barra.
a) Encontre a massa total da barra.
(1 ponto)
Passo 1
Então, temos uma barra de 2 metros de comprimento com uma densidade linear dada por , onde é a distância em metros a partir de uma das extremidades. Nosso objetivo aqui é encontrar a massa total dessa barra. Para isso, vamos usar um pouquinho de cálculo, especificamente a integração, que nos ajuda a somar pequenas partes para obter o total.
Passo 2
A massa total de um objeto com densidade variável pode ser encontrada integrando a função de densidade ao longo do comprimento do objeto. No nosso caso, como a densidade depende de , precisamos integrar de até metros.
Passo 3
Vamos escrever a integral que representa a massa total :
Passo 4
Agora, vamos calcular essa integral passo a passo:
1. Integramos em relação a :
2. Integramos em relação a :
3. Somamos essas integrais e avaliamos de a :
Resposta
A massa total da barra é de **6 kg**.
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Calcule o volume gerado pelà rotação da região delimitada pelas curvas e em torno do eixo .
(2 pontos)
Usando integração por partes, calcule:
Salcule a integral .
(2 pontos)