A densidade linear de uma barra de 2 metros de comprimento é , medida em quilogramas por metro, em que é medido em metros a partir de uma extremidade da barra. a) Encontre a massa total da barra. (1 ponto)

Passo 1

Então, temos uma barra de 2 metros de comprimento com uma densidade linear dada por , onde é a distância em metros a partir de uma das extremidades. Nosso objetivo aqui é encontrar a massa total dessa barra. Para isso, vamos usar um pouquinho de cálculo, especificamente a integração, que nos ajuda a somar pequenas partes para obter o total.

Passo 2

A massa total de um objeto com densidade variável pode ser encontrada integrando a função de densidade ao longo do comprimento do objeto. No nosso caso, como a densidade depende de , precisamos integrar de até metros.

Passo 3

Vamos escrever a integral que representa a massa total :

Passo 4

Agora, vamos calcular essa integral passo a passo: 1. Integramos em relação a : 2. Integramos em relação a : 3. Somamos essas integrais e avaliamos de a :

Resposta

A massa total da barra é de **6 kg**.

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Calcule o volume gerado pelà rotação da região delimitada pelas curvas e em torno do eixo . (2 pontos)
Usando integração por partes, calcule:
Salcule a integral . (2 pontos)