Calcule o volume molar e o fator de compressibilidade de uma amostra de certo gás que está contida em um recipiente a 400 K e 40 bar. Para isso, utilize a equação do virial da pressão truncada no 2^o termo, sendo o coeficiente B igual a -15,75 cm^3 mol^-1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume molar e o fator de compressibilidade de um gás em determinadas condições usando a equação do virial truncada no segundo termo. Para isso, vamos precisar entender a equação do virial, fazer algumas conversões de unidades e resolver uma equação quadrática. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Temperatura (T): 400 K
  • Pressão §: 40 bar
  • Coeficiente virial B: -15,75 cm³/mol
Vamos também lembrar da constante dos gases ideais ®, que em unidades de bar, L e K é aproximadamente 0,08314 L·bar·K⁻¹·mol⁻¹.
Antes de mais nada, precisamos garantir que todas as unidades estejam compatíveis. Vamos converter o coeficiente B de cm³/mol para L/mol, já que 1 L = 1000 cm³:
B = -15,75 , cm³/mol = -0,01575 , L/mol ³

Passo 3

A equação do virial truncada no segundo termo é dada por:
P Vm = R T (1 + BVm)
Aqui, Vₘ é o volume molar que queremos encontrar. Esse é um passo importante porque a equação relaciona pressão, volume molar, temperatura e o coeficiente virial.

Passo 4

Vamos resolver a equação para encontrar Vₘ. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por Vₘ para eliminar o denominador:
P Vm^2 = R T Vm + R T B
Reorganizando para forma quadrática:
P Vm^2 - R T Vm - R T B = 0
Essa é uma equação do segundo grau na forma aVₘ² + bVₘ + c = 0, onde:
  • a = P = 40 bar
  • b = -R T = -0,08314 \times 400 = -33,256 bar·L/mol
  • c = -R T B = -0,08314 \times 400 \times (-0,01575) = 0,52458 bar·L²/mol²
Agora, aplicamos a fórmula de Bhaskara para resolver para Vₘ:
Vm = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Calculando o discriminante (Δ):
De
Agora, calculamos Vₘ:
Vm = 33,256 pm raiz1020,3680 = 33,256 pm 31,9480
Desconsideramos a solução negativa porque o volume molar não pode ser negativo:
Vm = 33,256 + 31,9480 = 65,19680 = 0,81495 , L/mol

Passo 5

Com Vₘ encontrado, podemos calcular o fator de compressibilidade (Z) usando a fórmula:
Z = P VmR T
Substituindo os valores:
Z = 40 times 0,814950,08314 times 400 = 32,59833,256 approx 0,980

Resposta

O volume molar da amostra é aproximadamente 0,815 L/mol e o fator de compressibilidade é 0,980.

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