Calcule o volume de um paralelepípedo definido pelos vetores u=(2,-2,0), v=(0,1,0), w=(-2,-1,-1).

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de geometria vetorial onde precisamos calcular o volume de um paralelepípedo formado por três vetores: u = (2, -2, 0), v = (0, 1, 0) e w = (-2, -1, -1). Para resolver isso, vamos usar o produto misto dos vetores, que envolve cálculo de determinantes. Precisa saber como calcular determinantes de matrizes 3x3 e entender que o volume é dado pelo valor absoluto desse resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz com os três vetores como colunas. Ficaria assim:
2 & 0 & -2 -2 & 1 & -1 0 & 0 & -1

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante da matriz 3x3 é dado por:
det = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)
Onde, para a nossa matriz:
a = 2, b = 0, c = -2, d = -2, e = 1, f = -1, g = 0, h = 0, i = -1

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula do determinante:
det = 2(1 cdot (-1) - (-1) cdot 0) - 0((-2) cdot (-1) - (-1) cdot 0) + (-2)((-2) cdot 0 - 1 cdot 0)
Simplificando:
det = 2(-1 - 0) - 0(2 - 0) + (-2)(0 - 0)
det = 2(-1) - 0 + 0 = -2

Passo 5

O volume do paralelepípedo é o valor absoluto desse determinante. Então:
Volume = |det| = |-2| = 2

Resposta

O volume do paralelepípedo é 2 unidades cúbicas.

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