Resolva cada um dos seguintes sistemas utilizando o método de Gauss (matrizes escalonadas)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss, que é uma técnica para resolver sistemas lineares transformando as equações em uma forma mais simples chamada matriz escalonada. Para isso, vamos precisar manipular as equações para eliminar variáveis e chegar a uma solução passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada:

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma escalonada, onde os elementos abaixo da diagonal principal (os números na posição ) sejam zeros. Vamos começar eliminando o das linhas 2 e 3.
Para eliminar o da segunda linha, podemos multiplicar a primeira linha por e somar com a segunda linha:
Fazendo isso:
Então, a nova segunda linha fica:
Agora, vamos eliminar o da terceira linha. Podemos subtrair a primeira linha da terceira linha:
Fazendo isso:
Então, a nova terceira linha fica:
Nossa matriz agora fica:

Passo 4

Agora, vamos focar na segunda coluna para eliminar o da terceira linha. Primeiro, vamos tornar o coeficiente de na segunda linha igual a 1 dividindo toda a segunda linha por 7:
Assim:
Agora, para eliminar o da terceira linha, vamos adicionar 3 vezes a segunda linha à terceira linha:
Fazendo isso:
Então, a nova terceira linha fica:
Nossa matriz agora é:

Passo 5

Agora que a matriz está escalonada, podemos resolver as equações de baixo para cima.
Primeiro, da terceira linha:
Resolvendo para :
Agora, substituímos na segunda linha:
Calculando:
Por fim, substituímos e na primeira linha:

Resposta

A solução do sistema é:

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Determine uma transformação linear tal que e .
Determine se o terno ordenado dado é uma solução do sistema linear
(d)
Dada a hipérbole definida pela equação , determine:
a) A distância entre os vértices
b) A equação das assintotas
c) Um esboço do gráfico
Calcule o volume de um paralelepípedo definido pelos vetores , .