Seja T: R^2 R^2 uma transformação linear definida por T(x, y)=(2 x+y, 4 x+2 y). Quais dos vetores abaixo pertencem ao núcleo de T ? (1,5)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Transformações Lineares, que faz parte da Álgebra Linear. A questão nos dá uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é descobrir se o vetor pertence ao núcleo de . Para isso, vamos precisar entender o que é o núcleo de uma transformação linear e como verificar se um vetor está nesse núcleo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de Ker(T) = v in R^2 mid T(v) = 0 , denotado por , é o conjunto de todos os vetores que, quando aplicamos a transformação , resultam no vetor zero. Matematicamente, isso é escrito como:

Passo 3

Agora, para verificar se o vetor está no núcleo de , precisamos aplicar a transformação a esse vetor e ver se o resultado é o vetor zero .

Passo 4

Vamos aplicar T(1, 5) = (2 cdot 1 + 5, 4 cdot 1 + 2 cdot 5) ao vetor T(1, 5) = (2 + 5, 4 + 10) :
T(1, 5) = (7, 14)

Passo 5

O resultado de é , que claramente não é igual ao vetor zero . Isso significa que o vetor não satisfaz a condição necessária para estar no núcleo de .

Resposta

O vetor não pertence ao núcleo de .

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