Dada a hipérbole definida pela equação
, determine:
a) A distância entre os vértices
b) A equação das assintotas
c) Um esboço do gráfico
a) A distância entre os vértices
b) A equação das assintotas
c) Um esboço do gráfico
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você nos deu a equação da hipérbole
e precisa descobrir três coisas: a distância entre os vértices, a equação das assíntotas e fazer um esboço do gráfico dessa hipérbole. Para isso, vamos precisar entender a forma padrão da equação da hipérbole e como identificar seus elementos principais, como vértices e assíntotas.
Passo 2
a) A distância entre os vértices
Primeiro, vamos colocar a equação da hipérbole na forma padrão. A forma geral da hipérbole com eixo transversal no eixo x é:
Onde
é o centro da hipérbole,
é a distância do centro até cada vértice ao longo do eixo x, e
está relacionado à distância das assíntotas.
Vamos rearranjar a equação dada:
Aqui, vemos que
,
,
e
. Calculando
:
A distância entre os vértices é
, então:
Passo 3
b) A equação das assintotas
As assintotas de uma hipérbole são linhas que a aproximam sem nunca tocarem o gráfico. Para a forma padrão que temos, as equações das assintotas são dadas por:
Substituindo os valores que já identificamos:
Passo 4
c) Um esboço do gráfico
Para esboçar o gráfico da hipérbole, seguimos estes passos:
- Centro: Já identificamos que o centro é
. - Vértices: Como
, os vértices estão em e . - Assintotas: As linhas
e servem como guias para a abertura da hipérbole. - Desenho: A hipérbole abre horizontalmente, então desenhamos dois ramos que se aproximam das assintotas à medida que se afastam dos vértices.
Resposta
a) A distância entre os vértices é 8 unidades.
b) As equações das assintotas são
e
.
c) O esboço do gráfico apresenta uma hipérbole com centro em
, vértices em
e
, e assintotas nas retas
e
.
Exercícios relacionados
Resolva cada um dos seguintes sistemas utilizando o método de Gauss (matrizes escalonadas)
Determine uma transformação linear
tal que
e
.
Calcule o volume de um paralelepípedo definido pelos vetores
,
.
Seja
uma transformação linear definida por
. Quais dos vetores abaixo pertencem ao núcleo de
?