Dada a hipérbole definida pela equação , determine:
a) A distância entre os vértices
b) A equação das assintotas
c) Um esboço do gráfico

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você nos deu a equação da hipérbole e precisa descobrir três coisas: a distância entre os vértices, a equação das assíntotas e fazer um esboço do gráfico dessa hipérbole. Para isso, vamos precisar entender a forma padrão da equação da hipérbole e como identificar seus elementos principais, como vértices e assíntotas.

Passo 2

a) A distância entre os vértices
Primeiro, vamos colocar a equação da hipérbole na forma padrão. A forma geral da hipérbole com eixo transversal no eixo x é:
Onde é o centro da hipérbole, é a distância do centro até cada vértice ao longo do eixo x, e está relacionado à distância das assíntotas.
Vamos rearranjar a equação dada:
Aqui, vemos que , , e . Calculando :
A distância entre os vértices é , então:

Passo 3

b) A equação das assintotas
As assintotas de uma hipérbole são linhas que a aproximam sem nunca tocarem o gráfico. Para a forma padrão que temos, as equações das assintotas são dadas por:
Substituindo os valores que já identificamos:

Passo 4

c) Um esboço do gráfico
Para esboçar o gráfico da hipérbole, seguimos estes passos:
  1. Centro: Já identificamos que o centro é .
  2. Vértices: Como , os vértices estão em e .
  3. Assintotas: As linhas e servem como guias para a abertura da hipérbole.
  4. Desenho: A hipérbole abre horizontalmente, então desenhamos dois ramos que se aproximam das assintotas à medida que se afastam dos vértices.

Resposta

a) A distância entre os vértices é 8 unidades.
b) As equações das assintotas são e .
c) O esboço do gráfico apresenta uma hipérbole com centro em , vértices em e , e assintotas nas retas e .

Exercícios relacionados

Resolva cada um dos seguintes sistemas utilizando o método de Gauss (matrizes escalonadas)
Determine uma transformação linear tal que e .
Calcule o volume de um paralelepípedo definido pelos vetores , .
Seja uma transformação linear definida por . Quais dos vetores abaixo pertencem ao núcleo de ?