(2,0) Dada a hipérbole definida pela equação 9 x^2-16 y^2=144, determine:
a) A distância entre os vértices
b) A equação das assintotas
c) Um esboço do gráfico
(0.2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você nos deu a equação da hipérbole 9x^2 - 16y^2 = 144 e precisa descobrir três coisas: a distância entre os vértices, a equação das assíntotas e fazer um esboço do gráfico dessa hipérbole. Para isso, vamos precisar entender a forma padrão da equação da hipérbole e como identificar seus elementos principais, como vértices e assíntotas.

Passo 2

a) A distância entre os vértices
Primeiro, vamos colocar a equação da hipérbole na forma padrão. A forma geral da hipérbole com eixo transversal no eixo x é:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
Onde (h, k) é o centro da hipérbole, a é a distância do centro até cada vértice ao longo do eixo x, e b está relacionado à distância das assíntotas.
Vamos rearranjar a equação dada:
9x^2 - 16y^2 = 144 Rightarrow x^216 - y^29 = 1
Aqui, vemos que h = 0, k = 0, a^2 = 16 e b^2 = 9. Calculando a:
a = raiz16 = 4
A distância entre os vértices é 2a, então:
2a = 2 times 4 = 8

Passo 3

b) A equação das assintotas
As assintotas de uma hipérbole são linhas que a aproximam sem nunca tocarem o gráfico. Para a forma padrão que temos, as equações das assintotas são dadas por:
y = k pm ba(x - h)
Substituindo os valores que já identificamos:
y = 0 pm 34(x - 0) Rightarrow y = 34x e y = -34x

Passo 4

c) Um esboço do gráfico
Para esboçar o gráfico da hipérbole, seguimos estes passos:
  1. Centro: Já identificamos que o centro é (0, 0).
  2. Vértices: Como a = 4, os vértices estão em (4, 0) e (-4, 0).
  3. Assintotas: As linhas y = 34x e y = -34x servem como guias para a abertura da hipérbole.
  4. Desenho: A hipérbole abre horizontalmente, então desenhamos dois ramos que se aproximam das assintotas à medida que se afastam dos vértices.

Resposta

a) A distância entre os vértices é 8 unidades.
b) As equações das assintotas são y = 34x e y = -34x.
c) O esboço do gráfico apresenta uma hipérbole com centro em (0, 0), vértices em (4, 0) e (-4, 0), e assintotas nas retas y = 34x e y = -34x.

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