Em um plano cartesiano, determine a equação da reta bissetriz do menor ângulo formado pelo eixo x e pela reta de equação y=2 x.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Geometria Analítica. O problema pede para determinar a equação da reta que é bissetriz do menor ângulo formado pelo eixo x e pela reta de equação y = 2x. Para isso, vamos precisar entender como encontrar a bissetriz de um ângulo formado por duas retas no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, identificamos as duas retas que formam o ângulo. Uma delas é o eixo x, que tem a equação y = 0. A outra reta é y = 2x. Queremos encontrar a reta que divide o menor ângulo formado por essas duas retas em duas partes iguais.

Passo 3

Para encontrar a bissetriz, vamos usar a fórmula da bissetriz de ângulo entre duas retas. Se temos duas retas com equações L1: a1x + b1y + c1 = 0 e L2: a2x + b2y + c2 = 0, a equação da bissetriz é dada por:
a1x + b1y + c1raiza1^2 + b1^2 = pm a2x + b2y + c2raiza2^2 + b2^2
Precisamos escolher o sinal que corresponde à bissetriz do menor ângulo.

Passo 4

Vamos aplicar essa fórmula às nossas retas. A equação do eixo x pode ser escrita como L1: 0x + 1y + 0 = 0 (ou simplesmente y = 0). A equação da segunda reta é L2: 2x - y + 0 = 0. Agora, identificamos os coeficientes:
a1 = 0, b1 = 1, c1 = 0
a2 = 2, b2 = -1, c2 = 0

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula da bissetriz:
0x + 1y + 0raiz0^2 + 1^2 = pm 2x - y + 0raiz2^2 + (-1)^2
Simplificando as raízes:
y1 = pm 2x - yraiz4 + 1 implies y = pm 2x - yraiz5

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por raiz5 para eliminar o denominador:
yraiz5 = pm (2x - y)
Vamos considerar o caso positivo primeiro:
yraiz5 = 2x - y implies yraiz5 + y = 2x implies y(raiz5 + 1) = 2x implies y = 2raiz5 + 1x
Racionalizando o denominador:
y = 2raiz5 + 1 cdot raiz5 - 1raiz5 - 1x = 2(raiz5 - 1)5 - 1x = 2(raiz5 - 1)4x = raiz5 - 12x

Passo 7

Considerando o caso negativo:
yraiz5 = - (2x - y) implies yraiz5 = -2x + y implies yraiz5 - y = -2x implies y(raiz5 - 1) = -2x implies y = -2raiz5 - 1x
Racionalizando o denominador:
y = -2raiz5 - 1 cdot raiz5 + 1raiz5 + 1x = -2(raiz5 + 1)5 - 1x = -2(raiz5 + 1)4x = -(raiz5 + 1)2x
Como estamos buscando a bissetriz do menor ângulo, escolhemos a solução positiva:
y = raiz5 - 12x

Resposta

A equação da reta bissetriz do menor ângulo formado pelo eixo x e pela reta y = 2x é:
y = raiz5 - 12x

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