Em um plano cartesiano, determine a equação da reta bissetriz do menor ângulo formado pelo eixo
e pela reta de equação
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Geometria Analítica. O problema pede para determinar a equação da reta que é bissetriz do menor ângulo formado pelo eixo
e pela reta de equação
. Para isso, vamos precisar entender como encontrar a bissetriz de um ângulo formado por duas retas no plano cartesiano.
Passo 2
Primeiro, identificamos as duas retas que formam o ângulo. Uma delas é o eixo
, que tem a equação
. A outra reta é
. Queremos encontrar a reta que divide o menor ângulo formado por essas duas retas em duas partes iguais.
Passo 3
Para encontrar a bissetriz, vamos usar a fórmula da bissetriz de ângulo entre duas retas. Se temos duas retas com equações
e
, a equação da bissetriz é dada por:
Precisamos escolher o sinal que corresponde à bissetriz do menor ângulo.
Passo 4
Vamos aplicar essa fórmula às nossas retas. A equação do eixo
pode ser escrita como
(ou simplesmente
). A equação da segunda reta é
. Agora, identificamos os coeficientes:
Passo 5
Substituindo esses valores na fórmula da bissetriz:
Simplificando as raízes:
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Vamos considerar o caso positivo primeiro:
Racionalizando o denominador:
Passo 7
Considerando o caso negativo:
Racionalizando o denominador:
Como estamos buscando a bissetriz do menor ângulo, escolhemos a solução positiva:
Resposta
A equação da reta bissetriz do menor ângulo formado pelo eixo
e pela reta
é: