Determine os pontos do plano x z cuja distância ao ponto A(1,1,0) é 2 e ao ponto B(2,0,1) é 3.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: precisamos encontrar os pontos no plano cuja distância ao ponto é 2 e ao ponto é 3. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da distância entre pontos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, consideramos um ponto qualquer no plano , que pode ser representado como . Queremos que a distância desse ponto a seja 2.

Passo 3

Aplicamos a fórmula da distância entre dois pontos no espaço:
raiz(x-1)^2 + (0-1)^2 + (z-0)^2 = 2
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(x-1)^2 + 1 + z^2 = 4
Simplificando:
(x-1)^2 + z^2 = 3
Essa é a primeira equação que vamos usar.

Passo 4

Agora, queremos que a distância do ponto raiz(x-2)^2 + (0-0)^2 + (z-1)^2 = 3 ao ponto (x-2)^2 + (z-1)^2 = 9 seja 3. Aplicamos novamente a fórmula da distância:
Elevando ao quadrado:
Essa é a segunda equação do nosso sistema.

Passo 5

Agora temos um sistema com duas equações:
(x-1)^2 + z^2 = 3 (x-2)^2 + (z-1)^2 = 9
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de e .

Passo 6

Vamos expandir as duas equações:
  1. fica , simplificando para .
  2. fica , simplificando para .

Passo 7

Subtraímos a primeira equação da segunda:
(x^2 - 4x + z^2 - 2z) - (x^2 - 2x + z^2) = 4 - 2
Simplificando:
-2x - 2z = 2
Dividindo ambos os lados por -2:
x + z = -1
Isso nos dá a relação .

Passo 8

Substituímos (x-1)^2 + (-1 - x)^2 = 3 na primeira equação:
x^2 - 2x + 1 + x^2 + 2x + 1 = 3
Expandindo:
2x^2 + 2 = 3
Simplificando:
2x^2 = 1 implies x^2 = 12 implies x = pm raiz22
Então:

Passo 9

Agora, encontramos z = -1 - raiz22 usando z = -1 + raiz22 :
  1. Para :
  1. Para :

Resposta

Os pontos no plano ( dfracraiz22, 0, -1 - dfracraiz22 ) e ( -dfracraiz22, 0, -1 + dfracraiz22 ) que satisfazem as condições são:

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(b) 1+x
© 3-x^2
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