Determine os pontos do plano
cuja distância ao ponto
é 2 e ao ponto
é 3.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: precisamos encontrar os pontos no plano
cuja distância ao ponto
é 2 e ao ponto
é 3. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da distância entre pontos no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, consideramos um ponto qualquer no plano
, que pode ser representado como
. Queremos que a distância desse ponto a
seja 2.
Passo 3
Aplicamos a fórmula da distância entre dois pontos no espaço:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Simplificando:
Essa é a primeira equação que vamos usar.
Passo 4
Agora, queremos que a distância do ponto
ao ponto
seja 3. Aplicamos novamente a fórmula da distância:
Elevando ao quadrado:
Essa é a segunda equação do nosso sistema.
Passo 5
Agora temos um sistema com duas equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de
e
.
Passo 6
Vamos expandir as duas equações:
-
fica , simplificando para . -
fica , simplificando para .
Passo 7
Subtraímos a primeira equação da segunda:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por -2:
Isso nos dá a relação
.
Passo 8
Substituímos
na primeira equação:
Expandindo:
Simplificando:
Então:
Passo 9
Agora, encontramos
usando
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
Os pontos no plano
que satisfazem as condições são:
Exercícios relacionados
Determine um vetor que tenha módulo igual a
, que esteja no segundo octante e que seja simultaneamente ortogonal aos vetores
e
.
Calcule o volume de um paralelepípedo determinado pelos vetores
, onde
,
e
.
Seja
a transformação linear definida por
. Em cada caso, decida se o vetor está em
.
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Determine
e
de modo que sejam colineares os pontos
e
.