Determine um vetor que tenha módulo igual a , que esteja no segundo octante e que seja simultaneamente ortogonal aos vetores e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um vetor que tenha módulo igual a , que esteja no segundo octante e que seja ortogonal aos vetores e . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores, ortogonalidade e como calcular o módulo de um vetor.
Passo 2
Primeiro, para encontrar um vetor que seja ortogonal a ambos os vetores e , a gente usa o produto vetorial (ou produto cruzado). O produto vetorial de dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois originais. Então, vamos calcular .
Dado e , o produto vetorial é:
Calculando o determinante:
u times v = i(1 cdot 1 - (-1) cdot 2) - j(0 cdot 1 - (-1) cdot 1) + k(0 cdot 2 - 1 cdot 1)
= i(1 + 2) - j(0 + 1) + k(0 - 1)
= 3i - j - k
Então, u times v = (3, -1, -1).
Passo 3
Agora que temos o vetor ortogonal (3, -1, -1), precisamos ajustar o seu módulo para que seja igual a raiz44. Primeiro, vamos encontrar o módulo do vetor atual. O módulo de um vetor a = (a1, a2, a3) é dado por:
Queremos que o módulo do vetor final seja raiz44. Para escalar o vetor original para esse módulo, usamos uma relação de proporcionalidade. Se o vetor original tem módulo raiz11, para chegar a raiz44, multiplicamos por raiz44raiz11 = 2raiz11raiz11 = 2.
Então, multiplicamos cada componente do vetor (3, -1, -1) por 2:
2 cdot (3, -1, -1) = (6, -2, -2)
Passo 5
Por último, precisamos garantir que o vetor esteja no segundo octante. No segundo octante, as coordenadas são: x negativo, y positivo e z positivo. O vetor (6, -2, -2) não está no segundo octante, pois x é positivo e y, z são negativos. Para ajustar isso, vamos inverter a direção do vetor, multiplicando por -1:
-1 cdot (6, -2, -2) = (-6, 2, 2)
Agora, o vetor (-6, 2, 2) tem x negativo, y e z positivos, ou seja, está no segundo octante e mantém o módulo raiz44.