Calcule o volume do paralepípedo definido pelos vetores u=(2,-1,1), v=(1,3,2) e w=(-1,4,-3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume de um paralelepípedo definido pelos vetores u = (2, -1, 1), v = (1, 3, 2) e w = (-1, 4, -3). Esse tipo de problema está relacionado ao espaço vetorial e ao cálculo de produto misto ou produto escalar triplo. Para resolver, vamos precisar usar determinantes de matrizes.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que o volume de um paralelepípedo formado por três vetores u, v e w é dado pelo valor absoluto do produto misto desses vetores. A fórmula é:
V = |u cdot (v times w)|
Isso significa que vamos calcular o produto escalar de u com o produto vetorial de v e w.

Passo 3

Vamos começar calculando o produto vetorial v times w. O produto vetorial entre dois vetores em 3D é calculado pela seguinte matriz determinante:
v times w = i & j & k 1 & 3 & 2 -1 & 4 & -3

Passo 4

Calculando o determinante:
v times w = i(3 cdot (-3) - 2 cdot 4) - j(1 cdot (-3) - 2 cdot (-1)) + k(1 cdot 4 - 3 cdot (-1))
= i(-9 - 8) - j(-3 + 2) + k(4 + 3)
= i(-17) - j(-1) + k(7)
= (-17, 1, 7)

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar de u com o resultado que obtivemos:
u cdot (v times w) = (2, -1, 1) cdot (-17, 1, 7)
Isso significa multiplicar componente a componente e somar:
= 2 cdot (-17) + (-1) cdot 1 + 1 cdot 7
= -34 -1 + 7
= -28

Passo 6

O volume é o valor absoluto desse resultado:
V = | -28 | = 28

Resposta

O volume do paralelepípedo é 28 unidades cúbicas.

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