Calcule o volume do paralepípedo definido pelos vetores e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume de um paralelepípedo definido pelos vetores , e . Esse tipo de problema está relacionado ao espaço vetorial e ao cálculo de produto misto ou produto escalar triplo. Para resolver, vamos precisar usar determinantes de matrizes.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que o volume de um paralelepípedo formado por três vetores , e é dado pelo valor absoluto do produto misto desses vetores. A fórmula é:
Isso significa que vamos calcular o produto escalar de com o produto vetorial de e .
Passo 3
Vamos começar calculando o produto vetorial . O produto vetorial entre dois vetores em 3D é calculado pela seguinte matriz determinante:
Passo 4
Calculando o determinante:
v times w = i(3 cdot (-3) - 2 cdot 4) - j(1 cdot (-3) - 2 cdot (-1)) + k(1 cdot 4 - 3 cdot (-1))
= i(-9 - 8) - j(-3 + 2) + k(4 + 3)
= i(-17) - j(-1) + k(7)
= (-17, 1, 7)
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar de u com o resultado que obtivemos:
u cdot (v times w) = (2, -1, 1) cdot (-17, 1, 7)
Isso significa multiplicar componente a componente e somar: