Calcule o volume do paralepípedo definido pelos vetores e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume de um paralelepípedo definido pelos vetores , e . Esse tipo de problema está relacionado ao espaço vetorial e ao cálculo de produto misto ou produto escalar triplo. Para resolver, vamos precisar usar determinantes de matrizes.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que o volume de um paralelepípedo formado por três vetores , e é dado pelo valor absoluto do produto misto desses vetores. A fórmula é:
Isso significa que vamos calcular o produto escalar de com o produto vetorial de e .

Passo 3

Vamos começar calculando o produto vetorial . O produto vetorial entre dois vetores em 3D é calculado pela seguinte matriz determinante:

Passo 4

Calculando o determinante:

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar de com o resultado que obtivemos:
Isso significa multiplicar componente a componente e somar:

Passo 6

O volume é o valor absoluto desse resultado:

Resposta

O volume do paralelepípedo é 28 unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Os cidadãos de um determinado país estão em parte dentro das fronteiras do seu país e em parte espalhados pelo resto do mundo. O fluxo migratório desses cidadãos é modelado assim: a cada ano, dos que estão no país se mudam para o exterior, enquanto dos que estão no exterior retornam ao seu país. Mantendo-se esta tendência, qual será a percentagem dos cidadãos vivendo no exterior daqui a 30 anos? Assinale a abaixo a resposta que melhor aproxima esta percentagem.

Observações:

  • Nesta modelagem super-simplificada, não estão sendo considerados inúmeros outros fatores relevantes, como nascimentos, óbitos, naturalizações, dentre outros.
  • É interessante observar que a distribuição de longo prazo da população independe (praticamente) da distribuição inicial. Isto é uma característica de processos modelados por Cadeias de Markov (se tiver interesse, pesquise por este nome).
    (A)
    (B)
    ©
    (D)
    (E)
    (F)
    (G)
    (H)
    (I) Não sei
Seja uma transformação linear. Mostre que
(b) A imagem de é um subespaço de .
e . Determine:
(a) ;
(b) ;
© .
Determine o ângulo entre o plano e o plano que passa pelo ponto e é perpendicular ao vetor .