Seja uma transformação linear. Mostre que
(b) A imagem de é um subespaço de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que a imagem da transformação linear é um subespaço de . Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre transformações lineares e subespaços vetoriais. Para resolver isso, precisamos lembrar o que é uma transformação linear, o que é a imagem de uma transformação e quais são os critérios para um conjunto ser um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a imagem de uma transformação linear. A imagem de , denotada por , é o conjunto de todos os vetores em que podem ser obtidos aplicando a algum vetor de . Em outras palavras:
Passo 3
Agora, para mostrar que é um subespaço de , precisamos verificar se ele satisfaz os três critérios de um subespaço vetorial:
Contém o vetor zero.
É fechado sob a adição.
É fechado sob a multiplicação por escalar.
Passo 4
1. Contém o vetor zero: Sabemos que é uma transformação linear, então:
Isso mostra que o vetor zero de está na imagem de .
Passo 5
2. Fechado sob a adição: Vamos pegar dois vetores na imagem de , digamos e , onde . A soma desses vetores é:
Como também está em , está na imagem de . Portanto, a imagem é fechada sob adição.
Passo 6
3. Fechado sob a multiplicação por escalar: Pegue um vetor na imagem de , digamos , e um escalar . A multiplicação por é:
Como está em , está na imagem de . Portanto, a imagem é fechada sob multiplicação por escalar.
Resposta
Assim, verificamos que a imagem de contém o vetor zero, é fechada sob adição e sob multiplicação por escalar. Portanto, é um subespaço de .