Seja
uma transformação linear. Mostre que
(b) A imagem de
é um subespaço de
.
(b) A imagem de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que a imagem da transformação linear
é um subespaço de
. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre transformações lineares e subespaços vetoriais. Para resolver isso, precisamos lembrar o que é uma transformação linear, o que é a imagem de uma transformação e quais são os critérios para um conjunto ser um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a imagem de uma transformação linear. A imagem de
, denotada por
, é o conjunto de todos os vetores em
que podem ser obtidos aplicando
a algum vetor de
. Em outras palavras:
Passo 3
Agora, para mostrar que
é um subespaço de
, precisamos verificar se ele satisfaz os três critérios de um subespaço vetorial:
- Contém o vetor zero.
- É fechado sob a adição.
- É fechado sob a multiplicação por escalar.
Passo 4
1. Contém o vetor zero: Sabemos que
é uma transformação linear, então:
Isso mostra que o vetor zero de
está na imagem de
.
Passo 5
2. Fechado sob a adição: Vamos pegar dois vetores na imagem de
, digamos
e
, onde
. A soma desses vetores é:
Como
também está em
,
está na imagem de
. Portanto, a imagem é fechada sob adição.
Passo 6
3. Fechado sob a multiplicação por escalar: Pegue um vetor na imagem de
, digamos
, e um escalar
. A multiplicação por
é:
Como
está em
,
está na imagem de
. Portanto, a imagem é fechada sob multiplicação por escalar.
Resposta
Assim, verificamos que a imagem de
contém o vetor zero, é fechada sob adição e sob multiplicação por escalar. Portanto,
é um subespaço de
.