Seja uma transformação linear. Mostre que
(b) A imagem de é um subespaço de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que a imagem da transformação linear é um subespaço de . Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre transformações lineares e subespaços vetoriais. Para resolver isso, precisamos lembrar o que é uma transformação linear, o que é a imagem de uma transformação e quais são os critérios para um conjunto ser um subespaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a imagem de uma transformação linear. A imagem de , denotada por , é o conjunto de todos os vetores em que podem ser obtidos aplicando a algum vetor de . Em outras palavras:

Passo 3

Agora, para mostrar que é um subespaço de , precisamos verificar se ele satisfaz os três critérios de um subespaço vetorial:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob a adição.
  3. É fechado sob a multiplicação por escalar.

Passo 4

1. Contém o vetor zero: Sabemos que é uma transformação linear, então:
Isso mostra que o vetor zero de está na imagem de .

Passo 5

2. Fechado sob a adição: Vamos pegar dois vetores na imagem de , digamos e , onde . A soma desses vetores é:
Como também está em , está na imagem de . Portanto, a imagem é fechada sob adição.

Passo 6

3. Fechado sob a multiplicação por escalar: Pegue um vetor na imagem de , digamos , e um escalar . A multiplicação por é:
Como está em , está na imagem de . Portanto, a imagem é fechada sob multiplicação por escalar.

Resposta

Assim, verificamos que a imagem de contém o vetor zero, é fechada sob adição e sob multiplicação por escalar. Portanto, é um subespaço de .

Exercícios relacionados

Determinar o ângulo entre os vetores e .
Dados os pontos e e os vetores e , obter o vetor tal que:
Os cidadãos de um determinado país estão em parte dentro das fronteiras do seu país e em parte espalhados pelo resto do mundo. O fluxo migratório desses cidadãos é modelado assim: a cada ano, dos que estão no país se mudam para o exterior, enquanto dos que estão no exterior retornam ao seu país. Mantendo-se esta tendência, qual será a percentagem dos cidadãos vivendo no exterior daqui a 30 anos? Assinale a abaixo a resposta que melhor aproxima esta percentagem.

Observações:

  • Nesta modelagem super-simplificada, não estão sendo considerados inúmeros outros fatores relevantes, como nascimentos, óbitos, naturalizações, dentre outros.
  • É interessante observar que a distribuição de longo prazo da população independe (praticamente) da distribuição inicial. Isto é uma característica de processos modelados por Cadeias de Markov (se tiver interesse, pesquise por este nome).
    (A)
    (B)
    ©
    (D)
    (E)
    (F)
    (G)
    (H)
    (I) Não sei
Calcule o volume do paralepípedo definido pelos vetores e