Seja T: V W uma transformação linear. Mostre que
(b) A imagem de T é um subespaço de W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que a imagem da transformação linear é um subespaço de . Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre transformações lineares e subespaços vetoriais. Para resolver isso, precisamos lembrar o que é uma transformação linear, o que é a imagem de uma transformação e quais são os critérios para um conjunto ser um subespaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a imagem de uma transformação linear. A imagem de Im(T) = T(v) mid v in V , denotada por , é o conjunto de todos os vetores em que podem ser obtidos aplicando a algum vetor de . Em outras palavras:

Passo 3

Agora, para mostrar que é um subespaço de , precisamos verificar se ele satisfaz os três critérios de um subespaço vetorial:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob a adição.
  3. É fechado sob a multiplicação por escalar.

Passo 4

1. Contém o vetor zero: Sabemos que T(0V) = 0W é uma transformação linear, então:
Isso mostra que o vetor zero de está na imagem de .

Passo 5

2. Fechado sob a adição: Vamos pegar dois vetores na imagem de T(u) + T(v) = T(u + v) , digamos e , onde . A soma desses vetores é:
Como também está em , está na imagem de . Portanto, a imagem é fechada sob adição.

Passo 6

3. Fechado sob a multiplicação por escalar: Pegue um vetor na imagem de c cdot T(v) = T(c cdot v) , digamos , e um escalar . A multiplicação por é:
Como está em , está na imagem de . Portanto, a imagem é fechada sob multiplicação por escalar.

Resposta

Assim, verificamos que a imagem de contém o vetor zero, é fechada sob adição e sob multiplicação por escalar. Portanto, é um subespaço de .

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