Pi1=(2,0,0)+span(2,0,2),(1,0,0) e Pi2=(x, y, z) in R^3 ; x+z=0. Determine:
(a) r cap Pi1;
(b) r cap Pi2;
© Pi1 cap Pi2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que pede o exercício! Temos duas superfícies no espaço tridimensional:
  • Plano π₁: É definido pelo ponto (2,0,0) e inclui todas as combinações lineares dos vetores (2,0,2) e (1,0,0). Isso significa que π₁ é um plano que passa por (2,0,0) e se estende nas direções desses vetores.
  • Plano π₂: É definido pela equação x + z = 0. Isso significa que π₂ inclui todos os pontos (x, y, z) onde a soma de x e z é zero.
O exercício quer que a gente encontre:
(a) A interseção da reta r com o plano π₁;
(b) A interseção da reta r com o plano π₂;
© A interseção entre os planos π₁ e π₂.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de geometria analítica, como equações de planos, equações paramétricas de linhas e como encontrar pontos de interseção entre eles.

Passo 2

Parte (a): Encontrar r cap Pi1
Primeiro, precisamos saber a equação da reta r. Como não foi fornecida no enunciado, vamos assumir que r é uma reta definida por um ponto e um vetor direcional. Para este exemplo, vamos supor que:
  • A reta r passa pelo ponto (0,0,0).
  • O vetor direcional de r é (1,1,1).
Assim, a equação paramétrica de r seria:
x = t y = t z = t
Agora, queremos encontrar o ponto onde essa reta intersecta o plano π₁.
Equação de π₁:
Como π₁ é dado por (2,0,0) + span(2,0,2),(1,0,0), podemos escrever a equação paramétrica de π₁ como:
x = 2 + 2s + u y = 0 z = 0 + 2s + 0u = 2s
Para encontrar a interseção, igualamos as equações de r e π₁:
t = 2 + 2s + u t = 0 t = 2s
Da segunda equação, sabemos que t = 0. Substituindo na terceira equação:
0 = 2s implies s = 0
Substituindo s = 0 na primeira equação:
0 = 2 + 0 + u implies u = -2
Portanto, a interseção ocorre quando t = 0, então o ponto de interseção é (0,0,0), que é o próprio ponto inicial da reta r.

Passo 3

Parte (b): Encontrar r cap Pi2
Agora, vamos encontrar a interseção da reta r com o plano π₂, cuja equação é x + z = 0.
Usando a equação paramétrica de r:
x = t, y = t, z = t
Substituímos na equação de π₂:
t + t = 0 implies 2t = 0 implies t = 0
Então, novamente, o ponto de interseção ocorre quando t = 0, ou seja, no ponto (0,0,0).

Passo 4

Parte ©: Encontrar Pi1 cap Pi2
Aqui, queremos encontrar a interseção entre os planos π₁ e π₂. A interseção de dois planos geralmente é uma reta, a menos que sejam paralelos ou coincidentes.
Temos:
  • Equação paramétrica de π₁:
x = 2 + 2s + u y = 0 z = 2s
  • Equação de π₂: x + z = 0
Substituímos as expressões de π₁ na equação de π₂:
(2 + 2s + u) + (2s) = 0 implies 2 + 4s + u = 0 implies u = -2 - 4s
Agora, substituímos u = -2 - 4s na equação paramétrica de π₁:
x = 2 + 2s + (-2 - 4s) = -2s y = 0 z = 2s
Podemos parametrizar a interseção usando o parâmetro s:
x = -2s y = 0 z = 2s
Para deixar mais claro, vamos definir s = t, então:
x = -2t y = 0 z = 2t
Assim, a interseção entre π₁ e π₂ é a reta definida por esses parâmetros.

Resposta

(a) r cap Pi1 = , (0, 0, 0) ,;
(b) r cap Pi2 = , (0, 0, 0) ,;
© Pi1 cap Pi2 é a reta definida por x = -2t y = 0 z = 2t para todo t in R.

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