Beleza, vamos dar uma olhada no que pede o exercício! Temos duas superfícies no espaço tridimensional:
Plano π₁: É definido pelo ponto (2,0,0) e inclui todas as combinações lineares dos vetores (2,0,2) e (1,0,0). Isso significa que π₁ é um plano que passa por (2,0,0) e se estende nas direções desses vetores.
Plano π₂: É definido pela equação . Isso significa que π₂ inclui todos os pontos (x, y, z) onde a soma de x e z é zero.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de geometria analítica, como equações de planos, equações paramétricas de linhas e como encontrar pontos de interseção entre eles.
Passo 2
Parte (a): Encontrar
Primeiro, precisamos saber a equação da reta r. Como não foi fornecida no enunciado, vamos assumir que r é uma reta definida por um ponto e um vetor direcional. Para este exemplo, vamos supor que:
A reta r passa pelo ponto (0,0,0).
O vetor direcional de r é (1,1,1).
Assim, a equação paramétrica de r seria:
Agora, queremos encontrar o ponto onde essa reta intersecta o plano π₁.
Equação de π₁:
Como π₁ é dado por (2,0,0) + span(2,0,2),(1,0,0), podemos escrever a equação paramétrica de π₁ como:
x = 2 + 2s + u y = 0 z = 0 + 2s + 0u = 2s
Para encontrar a interseção, igualamos as equações de r e π₁:
t = 2 + 2s + u t = 0 t = 2s
Da segunda equação, sabemos que t = 0. Substituindo na terceira equação:
0 = 2s implies s = 0
Substituindo s = 0 na primeira equação:
0 = 2 + 0 + u implies u = -2
Portanto, a interseção ocorre quando t = 0, então o ponto de interseção é (0,0,0), que é o próprio ponto inicial da reta r.
Passo 3
Parte (b): Encontrar r cap Pi2
Agora, vamos encontrar a interseção da reta r com o plano π₂, cuja equação é x + z = 0.
Usando a equação paramétrica de r:
x = t, y = t, z = t
Substituímos na equação de π₂:
t + t = 0 implies 2t = 0 implies t = 0
Então, novamente, o ponto de interseção ocorre quando t = 0, ou seja, no ponto (0,0,0).
Aqui, queremos encontrar a interseção entre os planos π₁ e π₂. A interseção de dois planos geralmente é uma reta, a menos que sejam paralelos ou coincidentes.
Temos:
Equação paramétrica de π₁:
x = 2 + 2s + u y = 0 z = 2s
Equação de π₂: x + z = 0
Substituímos as expressões de π₁ na equação de π₂: