e . Determine:
(a) ;
(b) ;
© .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que pede o exercício! Temos duas superfícies no espaço tridimensional:
  • Plano π₁: É definido pelo ponto (2,0,0) e inclui todas as combinações lineares dos vetores (2,0,2) e (1,0,0). Isso significa que π₁ é um plano que passa por (2,0,0) e se estende nas direções desses vetores.
  • Plano π₂: É definido pela equação . Isso significa que π₂ inclui todos os pontos (x, y, z) onde a soma de x e z é zero.
O exercício quer que a gente encontre:
(a) A interseção da reta r com o plano π₁;
(b) A interseção da reta r com o plano π₂;
© A interseção entre os planos π₁ e π₂.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de geometria analítica, como equações de planos, equações paramétricas de linhas e como encontrar pontos de interseção entre eles.

Passo 2

Parte (a): Encontrar
Primeiro, precisamos saber a equação da reta r. Como não foi fornecida no enunciado, vamos assumir que r é uma reta definida por um ponto e um vetor direcional. Para este exemplo, vamos supor que:
  • A reta r passa pelo ponto (0,0,0).
  • O vetor direcional de r é (1,1,1).
Assim, a equação paramétrica de r seria:
Agora, queremos encontrar o ponto onde essa reta intersecta o plano π₁.
Equação de π₁:
Como π₁ é dado por , podemos escrever a equação paramétrica de π₁ como:
Para encontrar a interseção, igualamos as equações de r e π₁:
Da segunda equação, sabemos que . Substituindo na terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
Portanto, a interseção ocorre quando , então o ponto de interseção é (0,0,0), que é o próprio ponto inicial da reta r.

Passo 3

Parte (b): Encontrar
Agora, vamos encontrar a interseção da reta r com o plano π₂, cuja equação é .
Usando a equação paramétrica de r:
Substituímos na equação de π₂:
Então, novamente, o ponto de interseção ocorre quando , ou seja, no ponto (0,0,0).

Passo 4

Parte ©: Encontrar
Aqui, queremos encontrar a interseção entre os planos π₁ e π₂. A interseção de dois planos geralmente é uma reta, a menos que sejam paralelos ou coincidentes.
Temos:
  • Equação paramétrica de π₁:
  • Equação de π₂:
Substituímos as expressões de π₁ na equação de π₂:
Agora, substituímos na equação paramétrica de π₁:
Podemos parametrizar a interseção usando o parâmetro :
Para deixar mais claro, vamos definir , então:
Assim, a interseção entre π₁ e π₂ é a reta definida por esses parâmetros.

Resposta

(a) ;
(b) ;
© é a reta definida por para todo .

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Observações:

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    (A)
    (B)
    ©
    (D)
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    (F)
    (G)
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