Determine o ângulo entre o plano e o plano que passa pelo ponto e é perpendicular ao vetor .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A tarefa é encontrar o ângulo entre dois planos: o primeiro plano é dado pela equação e o segundo plano, , passa pelo ponto e é perpendicular ao vetor . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o ângulo entre planos utilizando os vetores normais deles e aplicar a fórmula do produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano é dado pelos coeficientes de , e na equação do plano. Para , o vetor normal é .
Já para , ele é perpendicular ao vetor , o que significa que esse vetor é o vetor normal do plano . Então, temos .

Passo 3

Agora que temos os dois vetores normais, e , podemos calcular o ângulo entre os dois planos. O ângulo entre os planos é o mesmo que o ângulo entre os seus vetores normais. Para encontrar esse ângulo, usamos a fórmula do produto escalar:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores normais.
  • e são as magnitudes dos vetores normais.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar :

Passo 5

Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores normais:

Passo 6

Com o produto escalar e as magnitudes calculadas, substituímos na fórmula do coseno:
Para encontrar o ângulo , usamos a função arco cosseno:

Resposta

O ângulo entre os planos e é aproximadamente .

Exercícios relacionados

e . Determine:
(a) ;
(b) ;
© .
Calcule o volume do paralepípedo definido pelos vetores e
Sejam e , com . Ache de modo que o ponto seja o terceiro vértice do triângulo equilátero .
Tem-se e . Para qual valor de as retas e são perpendiculares?