Determine o ângulo entre o plano
e o plano
que passa pelo ponto
e é perpendicular ao vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A tarefa é encontrar o ângulo entre dois planos: o primeiro plano é dado pela equação
e o segundo plano,
, passa pelo ponto
e é perpendicular ao vetor
. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o ângulo entre planos utilizando os vetores normais deles e aplicar a fórmula do produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano é dado pelos coeficientes de
,
e
na equação do plano. Para
, o vetor normal é
.
Já para
, ele é perpendicular ao vetor
, o que significa que esse vetor é o vetor normal do plano
. Então, temos
.
Passo 3
Agora que temos os dois vetores normais,
e
, podemos calcular o ângulo entre os dois planos. O ângulo entre os planos é o mesmo que o ângulo entre os seus vetores normais. Para encontrar esse ângulo, usamos a fórmula do produto escalar:
Onde:
-
é o produto escalar dos vetores normais. -
e são as magnitudes dos vetores normais.
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 5
Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores normais:
Passo 6
Com o produto escalar e as magnitudes calculadas, substituímos na fórmula do coseno:
Para encontrar o ângulo
, usamos a função arco cosseno:
Resposta
O ângulo entre os planos
e
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
(a)
(b)
©
Calcule o volume do paralepípedo definido pelos vetores
e
Sejam
e
, com
. Ache
de modo que o ponto
seja o terceiro vértice do triângulo equilátero
.
Tem-se
e
. Para qual valor de
as retas
e
são perpendiculares?