Determine o ângulo entre o plano pi1: 2 x-y+z=0 e o plano pi2 que passa pelo ponto P=(1,2,3) e é perpendicular ao vetor (1,-2,1)y arccos 56 approx 34^circ.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A tarefa é encontrar o ângulo entre dois planos: o primeiro plano é dado pela equação pi1: 2x - y + z = 0 e o segundo plano, pi2, passa pelo ponto P=(1,2,3) e é perpendicular ao vetor (1, -2, 1). Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o ângulo entre planos utilizando os vetores normais deles e aplicar a fórmula do produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano é dado pelos coeficientes de x, y e z na equação do plano. Para pi1: 2x - y + z = 0, o vetor normal é n1 = (2, -1, 1).
Já para pi2, ele é perpendicular ao vetor (1, -2, 1), o que significa que esse vetor é o vetor normal do plano pi2. Então, temos n2 = (1, -2, 1).

Passo 3

Agora que temos os dois vetores normais, n1 e n2, podemos calcular o ângulo entre os dois planos. O ângulo entre os planos é o mesmo que o ângulo entre os seus vetores normais. Para encontrar esse ângulo, usamos a fórmula do produto escalar:
costheta = n1 cdot n2|n1| cdot |n2|
Onde:
  • n1 cdot n2 é o produto escalar dos vetores normais.
  • |n1| e |n2| são as magnitudes dos vetores normais.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar n1 cdot n2:
n1 cdot n2 = (2)(1) + (-1)(-2) + (1)(1) = 2 + 2 + 1 = 5

Passo 5

Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores normais:
|n1| = raiz2^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6
|n2| = raiz1^2 + (-2)^2 + 1^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6

Passo 6

Com o produto escalar e as magnitudes calculadas, substituímos na fórmula do coseno:
costheta = 5raiz6 cdot raiz6 = 56
Para encontrar o ângulo theta, usamos a função arco cosseno:
theta = arccos(56) approx 34^circ

Resposta

O ângulo entre os planos pi1 e pi2 é aproximadamente 34^circ.

Exercícios relacionados