Os cidadãos de um determinado país estão em parte dentro das fronteiras do seu país e em parte espalhados pelo resto do mundo. O fluxo migratório desses cidadãos é modelado assim: a cada ano, dos que estão no país se mudam para o exterior, enquanto dos que estão no exterior retornam ao seu país. Mantendo-se esta tendência, qual será a percentagem dos cidadãos vivendo no exterior daqui a 30 anos? Assinale a abaixo a resposta que melhor aproxima esta percentagem.

Observações:

  • Nesta modelagem super-simplificada, não estão sendo considerados inúmeros outros fatores relevantes, como nascimentos, óbitos, naturalizações, dentre outros.
  • É interessante observar que a distribuição de longo prazo da população independe (praticamente) da distribuição inicial. Isto é uma característica de processos modelados por Cadeias de Markov (se tiver interesse, pesquise por este nome).
    (A)
    (B)
    ©
    (D)
    (E)
    (F)
    (G)
    (H)
    (I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo! Temos cidadãos de um país que estão tanto dentro das fronteiras quanto espalhados pelo mundo. Todo ano, 30% das pessoas que estão no país se mudam para o exterior, e 20% das que estão no exterior voltam para o país. A pergunta é: qual será a porcentagem dos cidadãos vivendo no exterior daqui a 30 anos? Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e Cadeias de Markov, que nos ajudam a entender como as coisas mudam ao longo do tempo de forma previsível.

Passo 2

Vamos começar definindo quanto está indo e vindo a cada ano. Se pensarmos que p é a porcentagem de pessoas que estão no exterior, então (1 - p) é a porcentagem que está no país.
  • 30% de quem está no país se muda para o exterior.
  • 20% de quem está no exterior volta para o país.

Passo 3

Agora, vamos montar uma equação de transição que mostra como a porcentagem muda de um ano para o outro. A nova porcentagem no exterior (p₁) será:
Explicando:
  • 0.30 × (1 - p): Isso representa os 30% que saem do país para o exterior.
  • 0.80 × p: Isso representa os 80% que permanecem no exterior (já que 20% voltam para o país).

Passo 4

Queremos encontrar a porcentagem de equilíbrio onde a distribuição não muda mais com o tempo. Isso significa que p₁ = p. Então, substituindo na equação:
Vamos resolver essa equação:

Resposta

A porcentagem dos cidadãos vivendo no exterior daqui a 30 anos será aproximadamente 60,0 %.
Opção © 60.0 %

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(b) A imagem de é um subespaço de .
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e . Determine:
(a) ;
(b) ;
© .