Decida se a seguinte sequência é convergente ou divergente: . E se o primeiro termo fosse ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma sequência definida por e a regra de recorrência para . A pergunta é: essa sequência converge (chega a um número específico) ou diverge (fica pulando)? Além disso, queremos saber o que acontece se o primeiro termo for . Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência convergir. Uma sequência converge se ela se aproxima cada vez mais de um certo número à medida que cresce. Esse número é chamado de limite da sequência.

Passo 3

Vamos analisar a sequência original onde e . Vamos calcular alguns termos para ver o padrão:
  • E assim por diante…
Parece que a sequência está alternando entre 1 e 3.

Passo 4

Como a sequência está oscilando entre 1 e 3 e não está se aproximando de nenhum número específico, podemos concluir que ela não está convergindo. Em vez disso, ela está divergindo, pois não se estabiliza em um único valor.

Passo 5

Agora, vamos ver o que acontece se o primeiro termo for . Aplicando a mesma regra de recorrência:
  • E assim por diante…
Aqui, todos os termos são iguais a 2. Isso significa que a sequência está se mantendo constante em 2.

Resposta

Quando , a sequência oscila entre 1 e 3, ou seja, ela não converge. Já quando , a sequência fica constante em 2, então ela converge para 2.

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