Decida se a seguinte sequência é convergente ou divergente:
. E se o primeiro termo fosse
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma sequência definida por
e a regra de recorrência
para
. A pergunta é: essa sequência converge (chega a um número específico) ou diverge (fica pulando)? Além disso, queremos saber o que acontece se o primeiro termo for
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência convergir. Uma sequência
converge se ela se aproxima cada vez mais de um certo número à medida que
cresce. Esse número é chamado de limite da sequência.
Passo 3
Vamos analisar a sequência original onde
e
. Vamos calcular alguns termos para ver o padrão:
-
-
-
-
- E assim por diante…
Parece que a sequência está alternando entre 1 e 3.
Passo 4
Como a sequência está oscilando entre 1 e 3 e não está se aproximando de nenhum número específico, podemos concluir que ela não está convergindo. Em vez disso, ela está divergindo, pois não se estabiliza em um único valor.
Passo 5
Agora, vamos ver o que acontece se o primeiro termo for
. Aplicando a mesma regra de recorrência:
-
-
-
- E assim por diante…
Aqui, todos os termos são iguais a 2. Isso significa que a sequência está se mantendo constante em 2.
Resposta
Quando
, a sequência oscila entre 1 e 3, ou seja, ela não converge. Já quando
, a sequência fica constante em 2, então ela converge para 2.
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entre os planos
e
.
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes; quando ela for convergente, encontre a soma da série.
Determine
de modo que