Seja o volume do sólido delimitado pelo cilindro , pelo cilindro , pelo plano e pelo paraboloide . Então vale
Escolha uma opção:



1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido limitado por dois cilindros dados pelas equações e , além do plano e do paraboloide . Para isso, vamos usar cálculo de integrais duplas, que nos permitem calcular volumes de sólidos com base em suas áreas de projeção no plano .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região no plano onde vamos integrar. Temos as curvas e . Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para saber os limites de integração.

Passo 3

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Substituindo na segunda equação:
Resolvendo :
Então, ou , o que dá . Correspondente a esses valores de :
  • Para :
  • Para :
Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 4

Agora, vamos determinar qual curva está acima da outra na região de integração. Vamos escolher um valor de entre 0 e 1, por exemplo, :
Vemos que está abaixo de nesse intervalo. Portanto, para cada entre 0 e 1, varia de até .

Passo 5

Com isso, podemos configurar nossa integral dupla para o volume :
Aqui, é a função que representa o paraboloide, e estamos integrando sobre a região delimitada pelas curvas que definimos.

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro:
Calculando cada parte:
Juntando tudo:

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a de 0 a 1:
Simplificando os expoentes:
Integrando termo a termo:
Calculando cada termo:
Convertendo para denominador comum (21):

Resposta

O volume vale .

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A integral vale
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Mude de coordenadas cartesianas para cilíndricas. ;
Calcule
onde
.
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