Seja
o volume do sólido
delimitado pelo cilindro
, pelo cilindro
, pelo plano
e pelo paraboloide
. Então
vale
Escolha uma opção:
1
Escolha uma opção:
1
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume
de um sólido limitado por dois cilindros dados pelas equações
e
, além do plano
e do paraboloide
. Para isso, vamos usar cálculo de integrais duplas, que nos permitem calcular volumes de sólidos com base em suas áreas de projeção no plano
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região no plano
onde vamos integrar. Temos as curvas
e
. Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para saber os limites de integração.
Passo 3
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Substituindo
na segunda equação:
Resolvendo
:
Então,
ou
, o que dá
. Correspondente a esses valores de
:
- Para
: - Para
:
Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 4
Agora, vamos determinar qual curva está acima da outra na região de integração. Vamos escolher um valor de
entre 0 e 1, por exemplo,
:
Vemos que
está abaixo de
nesse intervalo. Portanto, para cada
entre 0 e 1,
varia de
até
.
Passo 5
Com isso, podemos configurar nossa integral dupla para o volume
:
Aqui,
é a função que representa o paraboloide, e estamos integrando sobre a região delimitada pelas curvas que definimos.
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Calculando cada parte:
Juntando tudo:
Passo 7
Agora, vamos integrar em relação a
de 0 a 1:
Simplificando os expoentes:
Integrando termo a termo:
Calculando cada termo:
Convertendo para denominador comum (21):
Resposta
O volume
vale
.
Exercícios relacionados
A integral
vale
Escolha uma opção:
Escolha uma opção:
Mude de coordenadas cartesianas para cilíndricas.
;
Calcule
onde
.
Escolha uma opção:
onde
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