Calcule o volume do sólido que está abaixo do paraboloide f(x, y) = 6 - x^2 - y^2 e acima do círculo do plano x y dado por x^2 + y^2 <= 4.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o volume de um sólido que está abaixo do paraboloide e acima de um círculo no plano definido por . Para resolver isso, vamos usar integrais duplas e coordenadas polares, já que a região de integração é circular.

Passo 2

Como a região sobre a qual vamos integrar é um círculo, é mais fácil trabalhar em coordenadas polares. Nessas coordenadas, as posições são definidas por (a distância do ponto até a origem) e (o ângulo com o eixo ). As relações são:
E o elemento de área em coordenadas polares é dado por .

Passo 3

Vamos reescrever a função em coordenadas polares. Substituindo e :
Isso simplifica nossa função para depender apenas de , o que facilita a integração.

Passo 4

Determinar os limites de integração. Como a região é um círculo de raio 2 (porque ), temos:
Esses limites cobrem todo o círculo.

Passo 5

Montar a integral dupla para calcular o volume. A fórmula geral para o volume é:
Substituindo :

Passo 6

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a :

Passo 7

Agora, resolvemos a integral externa, que é em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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