Calcule o volume do sólido que está abaixo do paraboloide
e acima do círculo do plano
dado por
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o volume de um sólido que está abaixo do paraboloide
e acima de um círculo no plano
definido por
. Para resolver isso, vamos usar integrais duplas e coordenadas polares, já que a região de integração é circular.
Passo 2
Como a região sobre a qual vamos integrar é um círculo, é mais fácil trabalhar em coordenadas polares. Nessas coordenadas, as posições são definidas por
(a distância do ponto até a origem) e
(o ângulo com o eixo
). As relações são:
E o elemento de área
em coordenadas polares é dado por
.
Passo 3
Vamos reescrever a função
em coordenadas polares. Substituindo
e
:
Isso simplifica nossa função para depender apenas de
, o que facilita a integração.
Passo 4
Determinar os limites de integração. Como a região é um círculo de raio 2 (porque
), temos:
Esses limites cobrem todo o círculo.
Passo 5
Montar a integral dupla para calcular o volume. A fórmula geral para o volume é:
Substituindo
:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna, que é em relação a
:
Passo 7
Agora, resolvemos a integral externa, que é em relação a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.