Mostre que v x (w x s) = s(v . w) - w(v . s). Justifique, geometricamente, o porque o vetor v x (w x s) é uma combinação linear de w e s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o produto vetorial v x (w x s) é igual a . Estamos trabalhando com álgebra vetorial, especificamente com produtos vetoriais e escalares. Para resolver, vamos usar a identidade do produto vetorial de um produto vetorial e propriedades dos produtos escalar e vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da identidade do produto vetorial de um produto vetorial, também conhecida como identidade de Jacobi ou regra do paralelogramo:
Essa fórmula nos ajuda a simplificar expressões onde um vetor está fazendo o produto vetorial com outro produto vetorial.

Passo 3

Agora, aplicando essa identidade no nosso caso, onde , e , temos:

Passo 4

Mas vamos ver o que isso significa geometricamente. O vetor resulta de o vetor v cruzar o produto vetorial de w e . Isso nos dá um vetor que está no plano formado por w e , pois estamos combinando linearmente esses dois vetores com coeficientes que dependem dos produtos escalares e .

Passo 5

Portanto, é uma combinação linear de w e porque ele pode ser expresso como uma soma desses vetores multiplicados por escalares:
Isso mostra que o resultado final está no plano de w e , confirmando que é uma combinação linear deles.

Resposta

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