Mostre que
. Justifique, geometricamente, o porque o vetor
é uma combinação linear de w e s.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o produto vetorial
é igual a
. Estamos trabalhando com álgebra vetorial, especificamente com produtos vetoriais e escalares. Para resolver, vamos usar a identidade do produto vetorial de um produto vetorial e propriedades dos produtos escalar e vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da identidade do produto vetorial de um produto vetorial, também conhecida como identidade de Jacobi ou regra do paralelogramo:
Essa fórmula nos ajuda a simplificar expressões onde um vetor está fazendo o produto vetorial com outro produto vetorial.
Passo 3
Agora, aplicando essa identidade no nosso caso, onde
,
e
, temos:
Passo 4
Mas vamos ver o que isso significa geometricamente. O vetor
resulta de o vetor
cruzar o produto vetorial de
e
. Isso nos dá um vetor que está no plano formado por
e
, pois estamos combinando linearmente esses dois vetores com coeficientes que dependem dos produtos escalares
e
.
Passo 5
Portanto,
é uma combinação linear de
e
porque ele pode ser expresso como uma soma desses vetores multiplicados por escalares:
Isso mostra que o resultado final está no plano de
e
, confirmando que é uma combinação linear deles.