Nos itens abaixo, calcule
pela regra da cadeia:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa derivada usando a Regra da Cadeia. A gente tem a função
, onde
e
. A Regra da Cadeia nos ajuda a encontrar a derivada de uma função composta, ou seja, quando uma variável depende de outra que, por sua vez, depende de uma terceira.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar tudo o que precisamos. Queremos encontrar
. Como
depende de
e
, que por sua vez dependem de
, vamos usar a fórmula da Regra da Cadeia para funções de várias variáveis:
Isso significa que vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, além das derivadas de
e
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais primeiro. Começando por
:
Sabemos que se
, então
. Aqui,
. Então,
Calculando
:
Portanto,
Passo 4
Agora, vamos calcular
da mesma forma:
Calculando
:
Então,
Passo 5
Agora, precisamos das derivadas de
e
em relação a
:
Passo 6
Já temos tudo para aplicar a Regra da Cadeia:
Agora, substituímos
e
na expressão.
Passo 7
Substituindo:
Vamos substituir na expressão:
Passo 8
Simplificando cada parte:
Então,
Simplificando mais:
Somando as frações: