Nos itens abaixo, calcule d w / d t pela regra da cadeia: w = ln(x^4 + 2 x^2 y + 3 y^2), x = t, y = 2 t^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa derivada usando a Regra da Cadeia. A gente tem a função , onde e . A Regra da Cadeia nos ajuda a encontrar a derivada de uma função composta, ou seja, quando uma variável depende de outra que, por sua vez, depende de uma terceira.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar tudo o que precisamos. Queremos encontrar . Como depende de e , que por sua vez dependem de , vamos usar a fórmula da Regra da Cadeia para funções de várias variáveis:
Isso significa que vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , além das derivadas de e em relação a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais primeiro. Começando por :
Sabemos que se , então . Aqui, . Então,
Calculando :
Portanto,

Passo 4

Agora, vamos calcular da mesma forma:
Calculando :
Então,

Passo 5

Agora, precisamos das derivadas de e em relação a :

Passo 6

Já temos tudo para aplicar a Regra da Cadeia:
Agora, substituímos e na expressão.

Passo 7

Substituindo:
Vamos substituir na expressão:

Passo 8

Simplificando cada parte:
Então,
Simplificando mais:
Somando as frações:

Resposta

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