Calcule o volume do sólido abaixo do paraboloide e acima do plano .

Passo 1

Beleza, vamos calcular o volume do sólido que está abaixo do paraboloide e acima do plano . Para isso, vamos usar cálculo, especificamente integrais duplas, e coordenadas polares para facilitar a conta.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar onde o paraboloide e o plano se intersectam. Isso acontece quando . Vamos resolver essa equação:
Então, a interseção é um círculo com raio , ou .

Passo 3

Agora, vamos expressar o volume como uma integral dupla usando coordenadas polares, pois a região de integração é circular. Lembrando que em coordenadas polares, e , e o elemento de área é .

Passo 4

O volume é dado pela diferença entre as alturas do paraboloide e do plano, integradas sobre a região circular encontrada:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 5

Vamos integrar primeiro em relação a :
Agora, integramos em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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Encontre o volume abaixo do paraboloide e acima do retângulo , .
Determine a área de superfície do gráfico de sobre a região .