Calcule o volume do sólido abaixo do paraboloide
e acima do plano
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular o volume do sólido que está abaixo do paraboloide
e acima do plano
. Para isso, vamos usar cálculo, especificamente integrais duplas, e coordenadas polares para facilitar a conta.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar onde o paraboloide e o plano se intersectam. Isso acontece quando
. Vamos resolver essa equação:
Então, a interseção é um círculo com raio
, ou
.
Passo 3
Agora, vamos expressar o volume como uma integral dupla usando coordenadas polares, pois a região de integração é circular. Lembrando que em coordenadas polares,
e
, e o elemento de área é
.
Passo 4
O volume
é dado pela diferença entre as alturas do paraboloide e do plano, integradas sobre a região circular encontrada:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 5
Vamos integrar primeiro em relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Encontre o volume abaixo do paraboloide
e acima do retângulo
,
.
Determine a área de superfície do gráfico de
sobre a região
.