Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: . Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente sobre integrais múltiplas. Para resolver, a gente vai precisar integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte interna da integral, que é . Aqui, vamos integrar com respeito a , mantendo como uma constante.

Passo 3

Para integrar , vamos usar a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
Vamos escolher:

Passo 4

Aplicando a fórmula, temos:
Agora, precisamos resolver a integral .

Passo 5

Para simplificar , podemos reescrever a fração:
Assim, a integral fica:
Calculando cada parte:
Portanto:

Passo 6

Voltando à integração por partes:
Agora, precisamos avaliar essa expressão de a :
Simplificando:

Passo 7

Agora, temos a integral em termos de :
Vamos integrar termo a termo.

Passo 8

Integrando com relação a , usamos novamente integração por partes:
Aplicando a fórmula:
Simplificando a integral restante:
Portanto:

Passo 9

Fazendo uma análise similar para , e integrando o que fica , somamos tudo.

Resposta

Após realizar todas as integrações e substituições, o valor da integral dupla é:

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