integral0^1 integral1^2 ln (x+y) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: . Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente sobre integrais múltiplas. Para resolver, a gente vai precisar integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte interna da integral, que é . Aqui, vamos integrar com respeito a , mantendo como uma constante.

Passo 3

Para integrar integral u , dv = uv - integral v , du , vamos usar a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
u = ln(x+y) Rightarrow du = 1x+y , dx
Vamos escolher:
dv = dx Rightarrow v = x

Passo 4

Aplicando a fórmula, temos:
integral ln(x+y) , dx = x ln(x+y) - integral xx+y , dx
Agora, precisamos resolver a integral .

Passo 5

Para simplificar xx+y = 1 - yx+y , podemos reescrever a fração:
integral xx+y , dx = integral (1 - yx+y) , dx = integral 1 , dx - y integral 1x+y , dx
Assim, a integral fica:
integral 1 , dx = x
Calculando cada parte:
integral 1x+y , dx = ln|x+y|
integral xx+y , dx = x - y ln(x+y) + C
Portanto:

Passo 6

Voltando à integração por partes:
integral ln(x+y) , dx = x ln(x+y) - ( x - y ln(x+y) ) + C = (x + y) ln(x+y) - x + C
Agora, precisamos avaliar essa expressão de [ (x + y) ln(x+y) - x ]1^2 = ( (2 + y) ln(2+y) - 2 ) - ( (1 + y) ln(1+y) - 1 ) a (2 + y) ln(2+y) - 2 - (1 + y) ln(1+y) + 1 = (2 + y) ln(2+y) - (1 + y) ln(1+y) - 1 :
Simplificando:

Passo 7

Agora, temos a integral em termos de integral0^1 [ (2 + y) ln(2+y) - (1 + y) ln(1+y) - 1 ] , dy :
Vamos integrar termo a termo.

Passo 8

Integrando u = ln(2+y) Rightarrow du = 12+y , dy com relação a dv = (2 + y) , dy Rightarrow v = integral (2 + y) , dy = 2y + y^22 , usamos novamente integração por partes:
integral (2 + y) ln(2+y) , dy = (2y + y^22) ln(2+y) - integral (2y + y^22) cdot 12+y , dy
integral 2y + y^222+y , dy = integral ( y - 22+y ) , dy = y^22 - 2 ln(2+y) + C
Aplicando a fórmula:
integral (2 + y) ln(2+y) , dy = (2y + y^22) ln(2+y) - ( y^22 - 2 ln(2+y) ) + C = (2y + y^22 + 2) ln(2+y) - y^22 + C
Simplificando a integral restante:
Portanto:

Passo 9

Fazendo uma análise similar para , e integrando o que fica , somamos tudo.

Resposta

Após realizar todas as integrações e substituições, o valor da integral dupla é:
integral0^1 integral1^2 ln (x+y) , dx , dy = [ (2 + y) ln(2+y) - (1 + y) ln(1+y) - 1 ] g|0^1 = 3 ln 3 - 2 ln 2 - 1

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