Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla:
. Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente sobre integrais múltiplas. Para resolver, a gente vai precisar integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte interna da integral, que é
. Aqui, vamos integrar
com respeito a
, mantendo
como uma constante.
Passo 3
Para integrar
, vamos usar a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
Vamos escolher:
Passo 4
Aplicando a fórmula, temos:
Agora, precisamos resolver a integral
.
Passo 5
Para simplificar
, podemos reescrever a fração:
Assim, a integral fica:
Calculando cada parte:
Portanto:
Passo 6
Voltando à integração por partes:
Agora, precisamos avaliar essa expressão de
a
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, temos a integral em termos de
:
Vamos integrar termo a termo.
Passo 8
Integrando
com relação a
, usamos novamente integração por partes:
Aplicando a fórmula:
Simplificando a integral restante:
Portanto:
Passo 9
Fazendo uma análise similar para
, e integrando o
que fica
, somamos tudo.
Resposta
Após realizar todas as integrações e substituições, o valor da integral dupla é: