Determine a área de superfície do gráfico de sobre a região .

Passo 1

Vamos resolver um exercício que pede para determinar a área da superfície do gráfico da função sobre a região onde . Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo de áreas de superfícies no cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula de área de superfície para funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de uma superfície dada por sobre uma região . A fórmula é:
Essa fórmula considera as derivadas parciais da função em relação a e para calcular a área total da superfície.

Passo 3

No nosso caso, a função é . Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula da área:
Vamos simplificar dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 5

A integral representa a área da região . No nosso caso, é um círculo de raio 1, pois . A área de um círculo de raio é . Como , a área de é .
Portanto,

Resposta

A área da superfície é unidades de área.

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