Determine a área de superfície do gráfico de sobre a região .
Passo 1
Vamos resolver um exercício que pede para determinar a área da superfície do gráfico da função sobre a região onde . Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo de áreas de superfícies no cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula de área de superfície para funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de uma superfície dada por sobre uma região . A fórmula é:
Essa fórmula considera as derivadas parciais da função em relação a e para calcular a área total da superfície.
Passo 3
No nosso caso, a função é . Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Passo 4
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula da área:
Vamos simplificar dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 5
A integral representa a área da região . No nosso caso, é um círculo de raio 1, pois . A área de um círculo de raio é . Como , a área de é .