integral0^2 integral0^2(x^3+y^3) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral dupla integral0^2 integral0^2(x^3+y^3) , dx , dy. Isso faz parte do conteúdo de cálculo, mais especificamente de integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções em duas variáveis, fazendo as integrações uma de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a função x^3 + y^3 em relação a x, mantendo y constante. A integral de x^3 em relação a x é x^44 e a integral de y^3 em relação a x é y^3x, já que y^3 é tratada como uma constante.

Passo 3

Agora aplicamos os limites de integração para x, que vão de 0 a 2:
[x^44 + y^3x]0^2 = (2^44 + y^3 cdot 2) - (0^44 + y^3 cdot 0) = (164 + 2y^3) = 4 + 2y^3

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado obtido em relação a y, com os limites de 0 a 2:
integral0^2 (4 + 2y^3) , dy
A integral de 4 em relação a y é 4y e a integral de 2y^3 em relação a y é 2y^44 = y^42.

Passo 5

Aplicando os limites de integração para y:
[4y + y^42]0^2 = (4 cdot 2 + 2^42) - (4 cdot 0 + 0^42) = (8 + 162) = 8 + 8 = 16

Resposta

O valor da integral dupla é 16.

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