Encontre o volume abaixo do paraboloide e acima do retângulo , .

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é para encontrar o volume que está por baixo do paraboloide dado por e que fica acima de um retângulo no plano definido por e . Vamos usar cálculo integral, mais especificamente integrais duplas, pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, a gente precisa entender que para encontrar o volume entre uma superfície e a região no plano , a gente vai integrar a função sobre essa região. No nosso caso, , e a região é o retângulo , .

Passo 3

Vamos montar a integral dupla. Como os limites de e são constantes, a ordem da integração pode ser qualquer uma. Vou escolher integrar primeiro em e depois em . Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a :
Calculando cada parte:
Então, somando tudo:

Passo 5

Agora, a gente integra essa expressão resultante em relação a :
Calculando cada parte:
Subtraindo:

Resposta

O volume procurado é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Calcule o volume do sólido abaixo do paraboloide e acima do plano .