Encontre a massa e o centro de gravidade do sólido. O sólido cilíndrico com densidade delta(x, y, z) = h - z, envolvido por x^2 + y^2 = a^2, z = 0 e z = h.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede. Precisamos encontrar a massa e o centro de gravidade de um sólido cilíndrico. A densidade desse sólido é dada pela função . O cilindro está limitado pelas equações (que define a base circular do cilindro), (base inferior) e (base superior). Para resolver isso, vamos usar cálculo integral em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a massa do sólido. A massa ( M) é obtida integrando a densidade sobre todo o volume do cilindro:
Como estamos em coordenadas cilíndricas, substituímos por :

Passo 3

Vamos integrar em relação a z primeiro. A integral interna fica:
Isso resulta em:

Passo 4

Substituímos o resultado na integral de massa:

Passo 5

Agora, integramos em relação a r:
Então:

Passo 6

Com a massa calculada, vamos encontrar o centro de gravidade. Devido à simetria do cilindro em torno do eixo z, sabemos que as coordenadas e y_bar serão zero. Precisamos apenas determinar z barra. A fórmula para z barra é:
Em coordenadas cilíndricas, ficamos com:

Passo 7

Vamos integrar em relação a z:

Passo 8

Substituímos na integral de z barra:
Integrando em relação a r:
Então:

Passo 9

Substituímos o valor da massa na equação de z barra:

Resposta

A massa do sólido é:
E o centro de gravidade está localizado em:

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