Encontre a massa e o centro de gravidade do sólido. O sólido cilíndrico com densidade , envolvido por e .
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão pede. Precisamos encontrar a massa e o centro de gravidade de um sólido cilíndrico. A densidade desse sólido é dada pela função . O cilindro está limitado pelas equações (que define a base circular do cilindro), (base inferior) e (base superior). Para resolver isso, vamos usar cálculo integral em coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a massa do sólido. A massa () é obtida integrando a densidade sobre todo o volume do cilindro:
Como estamos em coordenadas cilíndricas, substituímos por :
Passo 3
Vamos integrar em relação a primeiro. A integral interna fica:
Isso resulta em:
Passo 4
Substituímos o resultado na integral de massa:
Passo 5
Agora, integramos em relação a :
Então:
Passo 6
Com a massa calculada, vamos encontrar o centro de gravidade. Devido à simetria do cilindro em torno do eixo , sabemos que as coordenadas e serão zero. Precisamos apenas determinar . A fórmula para é:
Em coordenadas cilíndricas, ficamos com:
Passo 7
Vamos integrar em relação a :
Passo 8
Substituímos na integral de z barra:
Integrando em relação a r:
Então:
Passo 9
Substituímos o valor da massa na equação de z barra: