Encontre o centro de gravidade do cubo determinado pelas desigualdades se a densidade for proporcional
(a) ao quadrado da distância à origem;
(b) à soma das distâncias às faces do cubo que estão nos planos coordenados.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo! Temos um cubo definido pelas desigualdades , e . A gente precisa encontrar o centro de gravidade desse cubo considerando duas diferentes maneiras de distribuir a densidade. O centro de gravidade é tipo o “equilíbrio” do objeto, levando em conta como a massa está distribuída. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral e entender como a densidade varia dentro do cubo.
Parte (a): Densidade proporcional ao quadrado da distância à origem
Passo 2
Primeiro, vamos definir a densidade. A densidade é proporcional ao quadrado da distância à origem. A distância de um ponto à origem é dada por . Como a densidade é proporcional ao quadrado dessa distância, podemos escrever a densidade como:
Aqui, é uma constante de proporcionalidade que vai ser cancelada nas equações seguintes.
Passo 3
O centro de gravidade é dado por:
E de maneira similar para e . Mas, como o cubo é simétrico em relação aos eixos , e , sabemos que . Então, vamos calcular apenas e depois sabemos que os outros valores são iguais.
Passo 4
Vamos calcular a integral no numerador:
Como as integrais em e são de 0 a 1 e não dependem de , podemos separar:
Calculando cada parte:
Isso resulta em:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral no denominador:
Isso pode ser separado em três integrais iguais devido à simetria:
Cada uma dessas integrais resulta em:
Passo 6
Agora, podemos encontrar :
E, pela simetria, .
Passo 7
Agora vamos para a parte (b)! Desta vez, a densidade é proporcional à soma das distâncias às faces do cubo que estão nos planos coordenados. As faces nos planos coordenados são aquelas onde , e .
Passo 8
Vamos definir a densidade . A soma das distâncias de um ponto às faces , e é simplesmente . Então, a densidade é:
Novamente, é uma constante que será eliminada.
Passo 9
O centro de gravidade é dado por:
E de igual forma para e . Como o cubo é simétrico, . Vamos calcular .
Passo 10
Calculando o numerador:
Isso separa em:
Calculando cada parte:
Passo 11
Agora, o denominador:
Isso pode ser separado em três integrais:
Cada uma dessas integrais resulta em:
Passo 12
Agora, encontramos :
E, pela simetria, .
Resposta
O centro de gravidade do cubo para a parte (b) é .