Explique por que não se pode usar a substituição para determinar o limite, calcule o limite algebricamente lim x -1 x^3+1x+1

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente entender por que não dá para simplesmente substituir o valor de na expressão para encontrar o limite quando se aproxima de -1. Além disso, precisamos calcular esse limite de forma algebricamente correta. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites, substituição direta e como fatorar expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir (-1)^3 + 1-1 + 1 = -1 + 10 = 00 diretamente na expressão:
Aí a gente se depara com uma indeterminação do tipo . Isso significa que a substituição direta não funciona e precisamos simplificar a expressão para resolver.

Passo 3

Para resolver essa indeterminação, vamos fatorar o numerador. A expressão a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) é uma soma de cubos, que pode ser fatorada usando a fórmula:
x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)
Aqui, e , então:

Passo 4

Agora, substituímos a fatoração na expressão original:
x^3 + 1x + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)x + 1
Vemos que (x + 1)cancel(x^2 - x + 1)cancelx + 1 = x^2 - x + 1 aparece no numerador e no denominador, então podemos simplificar:

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo lim x -1 (x^2 - x + 1) = (-1)^2 - (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é igual a 3.

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