Calcule o volume de um sólido cuja seção transversal perpendicular ao eixo x é um quadrado de x unidades de lado para 0 <= x <= 2.

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um sólido onde, em cada posição no eixo de 0 a 2, a seção transversal perpendicular a esse eixo é um quadrado com lado medindo unidades. Queremos calcular o volume desse sólido. Para isso, vamos usar integração, que é uma ferramenta matemática para somar infinitas pequenas partes e encontrar volumes.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a área de cada seção transversal. Como a seção é um quadrado com lado , a área desse quadrado é dada por:
Isso significa que, em cada ponto , a área da seção transversal é .

Passo 3

Para encontrar o volume total do sólido, precisamos somar todas essas áreas ao longo do eixo de 0 a 2. Isso é feito integrando a função no intervalo de 0 a 2:

Passo 4

Agora, vamos calcular essa integral. A integral de em relação a é:
onde é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque estamos calculando um intervalo definido.

Passo 5

Aplicando os limites de integração de 0 a 2:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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Calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado: y = x^3, x = 1 e y = 0 em torno da reta x = -2.
2 t^2 y'' - 5 t y' + 5 y = 0, t > 0
Transforme cada equação polar em cartesiana: rho = 1 / (3 cos(theta) - 4 sen(theta))
Determine o comprimento de arco de cada curva em coordenadas polares, entre os valores de theta indicados: rho = cos^2(theta / 2), 0 <= theta <= pi