Calcule o volume de um sólido cuja seção transversal perpendicular ao eixo
é um quadrado de
unidades de lado para
.
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um sólido onde, em cada posição no eixo
de 0 a 2, a seção transversal perpendicular a esse eixo é um quadrado com lado medindo
unidades. Queremos calcular o volume desse sólido. Para isso, vamos usar integração, que é uma ferramenta matemática para somar infinitas pequenas partes e encontrar volumes.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a área de cada seção transversal. Como a seção é um quadrado com lado
, a área
desse quadrado é dada por:
Isso significa que, em cada ponto
, a área da seção transversal é
.
Passo 3
Para encontrar o volume total do sólido, precisamos somar todas essas áreas ao longo do eixo
de 0 a 2. Isso é feito integrando a função
no intervalo de 0 a 2:
Passo 4
Agora, vamos calcular essa integral. A integral de
em relação a
é:
onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque estamos calculando um intervalo definido.
Passo 5
Aplicando os limites de integração de 0 a 2:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
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Calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado:
e
em torno da reta
.
Transforme cada equação polar em cartesiana:
Determine o comprimento de arco de cada curva em coordenadas polares, entre os valores de
indicados: