Calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado:
e
em torno da reta
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido que é gerado ao girar a região limitada pelas curvas
,
e
em torno da reta
. Vamos usar conceitos de Cálculo de Volumes por Revolução, especificamente o Método das Cascas Cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região:
-
: É uma função cúbica que passa pela origem. -
: É uma linha vertical. -
: É o eixo .
Essa região está limitada entre
e
.
Passo 3
Como queremos girar essa região em torno da reta
, que é uma linha vertical, o Método das Cascas Cilíndricas é o mais adequado. Esse método envolve integrar cilindros infinitamente finos (chasas) ao longo do eixo de rotação.
Passo 4
Vamos identificar os elementos necessários para o método das cascas:
- Raio da casca: A distância de um ponto
na região até a reta de rotação . Isso é . - Altura da casca: A diferença entre as funções superiores e inferiores na região. Aqui, a altura é
. - Espessura da casca: Um elemento infinitesimal
.
Passo 5
A fórmula para o volume usando o Método das Cascas Cilíndricas é:
Substituindo os valores que identificamos:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Portanto:
Passo 8
Agora, avaliamos a integral nos limites de 0 a 1:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Determine a área limitada pelas curvas em coordenadas polares, entre os valores de
indicados:
Calcule o volume de um sólido cuja seção transversal perpendicular ao eixo
é um quadrado de
unidades de lado para
.
Transforme cada equação polar em cartesiana: