Calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado: y = x^3, x = 1 e y = 0 em torno da reta x = -2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido que é gerado ao girar a região limitada pelas curvas , e em torno da reta . Vamos usar conceitos de Cálculo de Volumes por Revolução, especificamente o Método das Cascas Cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região:
  • : É uma função cúbica que passa pela origem.
  • : É uma linha vertical.
  • : É o eixo .
Essa região está limitada entre e .

Passo 3

Como queremos girar essa região em torno da reta , que é uma linha vertical, o Método das Cascas Cilíndricas é o mais adequado. Esse método envolve integrar cilindros infinitamente finos (chasas) ao longo do eixo de rotação.

Passo 4

Vamos identificar os elementos necessários para o método das cascas:
  • Raio da casca: A distância de um ponto na região até a reta de rotação . Isso é .
  • Altura da casca: A diferença entre as funções superiores e inferiores na região. Aqui, a altura é .
  • Espessura da casca: Um elemento infinitesimal .

Passo 5

A fórmula para o volume usando o Método das Cascas Cilíndricas é:
Substituindo os valores que identificamos:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
Portanto:

Passo 8

Agora, avaliamos a integral nos limites de 0 a 1:

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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