Determine o comprimento de arco de cada curva em coordenadas polares, entre os valores de theta indicados: rho = cos^2(theta / 2), 0 <= theta <= pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento de arco da curva dada em coordenadas polares: , para theta variando de 0 até pi. Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco em coordenadas polares e entender os conceitos básicos necessários.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco em coordenadas polares. A fórmula é:
Aqui, L é o comprimento de arco, rho é a função que define a curva, e a e b são os limites de theta.

Passo 3

Agora, vamos identificar nossa função rho e os limites de integração. No nosso caso:
E os limites são de até .

Passo 4

Precisamos calcular a derivada de rho em relação a theta, ou seja, . Vamos fazer isso passo a passo. Primeiro, vamos reescrever rho usando a identidade trigonométrica:
Então,
Agora, vamos derivar rho em relação a theta:

Passo 5

Com a derivada calculada, podemos agora inserir tudo na fórmula do comprimento de arco:
Vamos simplificar dentro da raiz:
Então,

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Sabemos que , então:
Portanto,

Passo 7

Reconhecemos que , usando a identidade trigonométrica para o cosseno do meio ângulo. Então:

Passo 8

Agora, vamos integrar em relação a theta. Fazendo a substituição , então ou . Quando , e quando , . Portanto:

Passo 9

A integral de é . Então:

Resposta

O comprimento de arco da curva , para 0 <= theta <= pi, é unidades.

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