Determine o comprimento de arco de cada curva em coordenadas polares, entre os valores de
indicados:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento de arco da curva dada em coordenadas polares:
, para
variando de
até
. Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco em coordenadas polares e entender os conceitos básicos necessários.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco em coordenadas polares. A fórmula é:
Aqui,
é o comprimento de arco,
é a função que define a curva, e
e
são os limites de
.
Passo 3
Agora, vamos identificar nossa função
e os limites de integração. No nosso caso:
E os limites são de
até
.
Passo 4
Precisamos calcular a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Vamos fazer isso passo a passo. Primeiro, vamos reescrever
usando a identidade trigonométrica:
Então,
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Passo 5
Com a derivada calculada, podemos agora inserir tudo na fórmula do comprimento de arco:
Vamos simplificar dentro da raiz:
Então,
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Sabemos que
, então:
Portanto,
Passo 7
Reconhecemos que
, usando a identidade trigonométrica para o cosseno do meio ângulo. Então:
Passo 8
Agora, vamos integrar
em relação a
. Fazendo a substituição
, então
ou
. Quando
,
e quando
,
. Portanto:
Passo 9
A integral de
é
. Então:
Resposta
O comprimento de arco da curva
, para
, é
unidades.
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Transforme cada equação polar em cartesiana:
Calcule o volume de um sólido cuja seção transversal perpendicular ao eixo
é um quadrado de
unidades de lado para
.
Calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado:
e
em torno da reta
.
Um sólido é gerado por um hexágono variável que se move de modo que seu plano seja sempre perpendicular ao diâmetro dado de um círculo fixo de raio
, o centro do hexágono estando neste diâmetro, e dois vértices opostos estando na fronteira do círculo. Calcule o volume do sólido.