2 t^2 y'' - 5 t y' + 5 y = 0, t > 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes que dependem de . O conteúdo que vamos usar é a Equação de Cauchy-Euler, que é super útil para resolver esse tipo de equação. Precisamos encontrar uma solução para a equação:
Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, reconhecemos que essa é uma Equação de Cauchy-Euler, que tem a forma geral:
A gente resolve assumindo uma solução do tipo , onde é um número que a gente precisa descobrir.

Passo 3

Vamos derivar :
Agora, substituímos , e na equação original.

Passo 4

Substituindo na equação:
Simplificando cada termo:

Passo 5

Fatorando e simplificando:
Como nunca é zero para , podemos igualar o que está dentro dos colchetes a zero:

Passo 6

Agora, resolvemos a equação quadrática . Usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, temos duas soluções para :

Passo 7

Com os valores de encontrados, as soluções gerais são:
Como a equação é linear e homogênea, a solução geral é uma combinação linear dessas duas soluções.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais.

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