Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes que dependem de
. O conteúdo que vamos usar é a Equação de Cauchy-Euler, que é super útil para resolver esse tipo de equação. Precisamos encontrar uma solução para a equação:
Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, reconhecemos que essa é uma Equação de Cauchy-Euler, que tem a forma geral:
A gente resolve assumindo uma solução do tipo
, onde
é um número que a gente precisa descobrir.
Passo 3
Vamos derivar
:
Agora, substituímos
,
e
na equação original.
Passo 4
Substituindo na equação:
Simplificando cada termo:
Passo 5
Fatorando
e simplificando:
Como
nunca é zero para
, podemos igualar o que está dentro dos colchetes a zero:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação quadrática
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, temos duas soluções para
:
Passo 7
Com os valores de
encontrados, as soluções gerais são:
Como a equação é linear e homogênea, a solução geral é uma combinação linear dessas duas soluções.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais.
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e
em torno da reta
.
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é um quadrado de
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.