Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. O enunciado pede para encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela da função . Vamos usar cálculo multivariável para resolver isso, especificamente encontrando as derivadas parciais, igualando-as a zero para achar os pontos críticos, e depois analisando a natureza desses pontos usando a segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos achar os pontos críticos, ou seja, os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Então, resolvemos o sistema:
A partir de , sabemos que , onde é um inteiro. Substituindo esse valor de na equação , temos:
Portanto, .

Passo 4

Assim, os pontos críticos são da forma:
Agora, precisamos determinar a natureza desses pontos. Para isso, vamos usar a segunda derivada e o discriminante , que é dado por:
Primeiro, encontramos as segundas derivadas:
Avalie nos pontos críticos:
Como nos pontos críticos, temos:
Um discriminante negativo indica que os pontos críticos são pontos de sela.

Resposta

Todos os pontos críticos da função são pontos de sela, localizados em , onde é um inteiro.

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Suponha que seja um ponto crítico de uma função com derivadas de segunda ordem contínuas. Em cada caso, o que se pode dizer sobre ?
Determine a menor distância entre o ponto e o plano .
Determine a menos distância do ponto à parábola .
Calcule o volume do sólido dado por: ;