Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. O enunciado pede para encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela da função
. Vamos usar cálculo multivariável para resolver isso, especificamente encontrando as derivadas parciais, igualando-as a zero para achar os pontos críticos, e depois analisando a natureza desses pontos usando a segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos achar os pontos críticos, ou seja, os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Então, resolvemos o sistema:
A partir de
, sabemos que
, onde
é um inteiro. Substituindo esse valor de
na equação
, temos:
Portanto,
.
Passo 4
Assim, os pontos críticos são da forma:
Agora, precisamos determinar a natureza desses pontos. Para isso, vamos usar a segunda derivada e o discriminante
, que é dado por:
Primeiro, encontramos as segundas derivadas:
Avalie
nos pontos críticos:
Como
nos pontos críticos, temos:
Um discriminante negativo indica que os pontos críticos são pontos de sela.
Resposta
Todos os pontos críticos da função
são pontos de sela, localizados em
, onde
é um inteiro.
Exercícios relacionados
Suponha que
seja um ponto crítico de uma função
com derivadas de segunda ordem contínuas. Em cada caso, o que se pode dizer sobre
?
Determine a menor distância entre o ponto
e o plano
.
Determine a menos distância do ponto
à parábola
.
Calcule o volume do sólido
dado por:
;